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一次函数与方程、不等式课件
1.认识一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间的联系.2.会用函数观点解释方程和不等式及其解(解集)的意义.
已知一次函数y=2x+1,求当函数值y=3,y=0,y=-1时,自变量x的值.自变量x的值依次是1,,-1
当y=3时,2x+1等于几?当y=0,y=-1时,2x+1又等于几呢?你能把它们写成一个方程的形式吗?可以写成2x+1=3,2x+1=0,2x+1=-1的形式,就变成了一元一次方程.也就是说当一个一次函数y=kx+b,只要确定了y的值,它就变成了一个一元一次方程,每一个一元一次方程都可以看成是一次函数的一种具体情况.
思考下面3个方程有什么共同点和不同点?你能从函数的角度对解这3个方程进行解释吗?(1)2x+1=3; (2)2x+1=0;(3)2x+1=-1.可以看出,这3个方程的等号左边都是2x+1,等号右边分别是3,0,-1.从函数的角度看,解这3个方程相当于在一次函数y=2x+1的函数值分别为3,0,-1时,求自变量x的值.
或者说,在直线y=2x+1上取纵坐标分别为3,0,-1的点,看它们的横坐标分别为多少画出一次函数y=2x+1的图象,如图:观察图象,前面的三个方程可以看成函数y=2x+1的一种具体情况.当y=3时,x=1;当y=0时,x=;当y=-1时,x=-1.这三个方程的解则刚好是自变量x的一个值.
因为任何一个以x为未知数的一元一次方程都可以变形为ax+b=0(a≠0)的形式,所以解一元一次方程相当于在某个一次函数y=ax+b的函数值为0时,求自变量x的值.
从数的角度看:求ax+b=0的解,相当于求函数y=ax+b的值为0时,对应的自变量x.从形的角度看:求ax+b=0的解,这相当已知直线y=ax+b,确定它与x轴交点的横坐标.
特别提醒:求一次函数的图象与x轴交点的横坐标的实质就是解一元一次方程;也就是说,“数”题可用“形”解,“形”题也可用“数”解.对于一次函数y=kx+b(k,b为常数,k≠0),已知x的值求y的值,或已知y的值求x的值时,就是把问题转化为关于y或x的一元一次方程来求解.
已知一次函数y=3x+2,求函数值y>2,y<0,y<-1时,自变量x的取值范围.自变量x的取值范围依次是x>0,x<,x<-1.
当y>2时,3x+2大于几?当y<0,y<-1时,3x+2又小于几呢?可以怎样列式表示?可以写成3x+2>2,3x+2<0,3x+2<-1的形式,就变成了一元一次不等式.
思考下面3个不等式有什么共同点和不同点?你能从函数的角度对解这3个不等式进行解释吗?(1)3x+2>2; (2)3x+2<0;(3)3x+2<-1.可以看出,这3个不等式的不等号左边都是3x+2,而不等号及不等号右边却有不同.从函数的角度看,解这3个不等式相当于在一次函数y=3x+2的函数值分别大于2、小于0、小于-1时,求自变量x的取值范围.
或者说,在直线y=3x+2上取纵坐标分别满足大于2、小于0、小于-1的点,看它们的横坐标分别满足什么条件.?画出一次函数的图象,如图.从图象上观察,上面的三个不等式可以看成y=3x+2的函数值y大于2、小于0、小于-1时自变量x的取值范围.当y>2时,x>0;当y<0时,x<;当y<-1时,x<-1.
由于任何一元一次不等式都可以转化为ax+b0或ax+b0(a,b为常数,a≠0)的形式,所以解一元一次不等式可以看作:当一次函数y=ax+b的值大于0(或小于0)时,求自变量x相应的取值范围.
从数的角度看:求ax+b>0或ax+b<0(a≠0)的解,也就是求x为何值时y=ax+b的值大于0或小于0.从形的角度看:求ax+b>0或ax+b<0(a≠0)的解,也就是求直线y=ax+b在x轴上方或下方部分所有点的横坐标满足的条件.
利用函数图象解方程3x-2=x+4.分析:先将方程化为ax+b=0的形式,再在坐标系中画出函数y=ax+b的图象,然后观察出直线y=ax+b与x轴的交点坐标,从而取定所求x的值.
解:由3x-2=x+4得2x-6=0画函数y=2x-6的图象,如图.由图可知,直线y=2x-6与x轴的交点为(3,0),所以x=3.
利用函数图象解一元一次方程时,一般需将方程变形为ax+b=0的形式,然后通过观察直线y=ax+b与x轴的交点坐标确定方程的解,此求解对作图的准确性要求较高.
解:化简,得3x-60.画出直线y=3x-6,可以看出,当x2时,这条直线上的点在x轴的下方,即这时y=3x-60,∴不等式的解集
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