微积分基本定理-说课稿公开课一等奖课件省赛课获奖课件.pptx

第二节微积分基本定理

★

变限的定积分与原函数的存在性

牛顿—莱布尼茨公式

小结思考题作业

☆

☆

1

牛顿(英)1642―1727

莱布尼茨(德)1646―1716

一、牛顿—莱布尼茨公式

通过定积分的物理意义,

例

变速直线运动中路程为

另首先这段路程可表达为

设某物体作直线运动,

已知速度

的一种持续函数,

求物体在这段时间内所通过的路程.

是时间间隔

其中

积分的有效、简便的办法.

找到一种计算定

2

能够证明:对任何量的变化率的积分等于这个量

的变化总量.

则

即

此式将导数与定积分联系起来,很重要.

这就是下面要讲的微积分基本定理.

3

定理1(微积分基本定理)

设函数

则有

即,函数

上的定积分等于

该函数在

上的总量.

提示:运用拉格朗日中值定理证明.

牛顿(Newton)—莱布尼茨(Leibniz)公式

微积分基本公式

4

微积分基本公式揭示了导数与积分的关系.

从而能够解决定积分的计算问题

(1)

仍成立.

(2)注意公式成立的条件:被积函数要持续:

如,求

5

二、变限的定积分与原函数的存在性

定义1

设函数

内有定义,

如果存在可导函数

使得对

有

或

则称

一种

原函数.

例

或由

知

是

原函数.

也是

的原函数,

为任意常数.

6

由微积分基本定理懂得,若

则

下面将证明,只要

则变上限的定积分

是可导的,且

从而证明持续函数存在原函数.

7

定理2设函数

是的持续函数.

运用可积函数有界及结合定积分的比较性可证.

8

定理3(积分上限函数的求导定理)

从而

9

定理3指出:

积分联结为一种有机的整体

(2)持续函数f(x)一定有原函数,

就是f(x)的一种原函数.

(1)积分运算和微分运算的关系,

它把微分和

因此它是微积分学基本定理.

函数

—微积分,

10

定理4设

则函数

上的一种原函数.

11

推论

12

例1求极限

例2求下列函数的导数.

13

证

例3

证明函数

为单调增加函数.

14

为单调增加函数.

故

15

分析

求

必须先化掉

积分号,

只要对所给积分方程两边求导即可.

解

对所给积分方程两边有关x求导,得

需先求出

即

16

例4

试证明:积分中值定理中的

可在开区间

获得,

即如果

则最少

存在一点

使得

证

令

由定理3知:

可导,

根据拉格朗日中值定理,

最少存在一点

使得

即

17

例5

解

此极限实为一积分和的极限.

定积分是代数和的推广,

无穷小的无限项的代数和.

即它表达每项为

●

用定积分求极限时,

●

需将(1)式中的两个

任意量

用特殊的值解决.

18

解

原式=

19

微积分基本公式

积分上限函数(变上限积分)

积分上限函数的导数

牛顿－莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系．

三、小结

注意其推论.

20

思考题1

对吗?

错!

分析

其中的x对积分过程

是常数,

而积分成果

是x的函数.

若被积函数是积分上限(或下限)的函数中的

注意

变量x及积分变量t的函数时,

应注意x与t的区别.

对x求导时,

绝不能用积分上限(或下限)的变量x替

换积分变量.

21

思考题1

对吗?

故

对的解答

由于

22

思考题2

已知两曲线

在点

处的切线相似,

写出此切线方程,

并求极限

解

故所求切线方程为

23

作业

习题4.2(188页)

(A)2.5.(1)7.(1)

(B)1.3.4.

24