武汉大学量子力学第三章.ppt

正交归一化的本征函数组算符的本征值方程故算符和有共同的正交归一化本征函数完备组正交归一化表达式注意：不是Lx和Ly的本征函数没有经典对应3.3-5宇称算符坐标空间反演再作用，有定义即设本征值方程为再作用，有求本征值谱和本征函数组左边右边本征值谱将本征值代回到本征值方程中，有偶函数是的本征值为＋1的本征函数奇函数是的本征值为－1的本征函数3.4-1基本量子条件3.4-2两个有经典对应的力学量算符之间的对易关系3.4-4量子力学的第四条假设§3.4量子条件3.4-1基本量子条件坐标算符和动量算符之间的对易关系其余的均为零证明又是任意的其余的类似证明考虑到3.4-2两个有经典对应的力学量算符之间的对易关系设两个力学量F和G对应的算符为其对易子的计算:幂级数展开角动量的量子条件证：利用基本量子条件和恒等式其中意义：用Levi-Civita符号表示为:同理及合记为还可以推得定义非厄密算符非么正算符3.4-3对易关系关系式力学量算符之间有确定的对易关系，称为量子条件3.4-4量子力学的第四条假设坐标算符的三个直角坐标系分量和动量算符的三个直角坐标系分量之间的对易关系为称为基本量子条件；§3.5两个力学量同时有确定值的条件3.5-1两个力学量算符对易是它们有共同的本征函数完备组的充分和必要的条件3.5-2两个力学量算符不对易与测不准关系必要条件:3.5-1两个力学量算符对易是它们有共同的本征函数完备组的充分和必要的条件设两个力学量算符和有一组共同的本征函数

完备组。设本征值谱是分立的。即因为是特定函数,非任意波函数此时将任意状态波函数按本征函数完备组则展开为因为是任意波函数充分条件:两个力学量算符对易，

则此二个算符有共同本征函数完备组证:设，的本征函数组为(非简并情况)§3.1算符及其运算规则§3.2力学量用算符表示§3.3几个基本的力学量算符§3.4量子条件§3.5两个力学量同时有确定值的条件§3.6体系的守恒量第三章量子力学原理(Ⅱ)

力学量算符及量子条件§3.1算符及其运算规则3.1-1黑伯特空间及算符3.1-2量子力学中常用的几类算符（1）单位算符（2）零算符（3）算符相等（4）算符之和（5）算符数乘和乘积（6）交换律结合律（7）对易关系算符的基本性质单位算符:零算符：算符相等：算符之和：运算:作用于(波)函数3.1-1算符数乘：算符相乘：算符相加满足：交换律：结合律：一般不满足交换律：算符对易子：算符与通常数运算规则不同之处若称对易若称不对易对易子的恒等式(1)线性算符满足如下运算规律的算符微商运算,积分算符都是线性算符开方运算、对数运算就不是线性算符3.1-2量子力学中常见的几类算符(2)逆算符设对矢量作用的结果为即若有作用则称互为逆算符，记为复共轭：把算符表达式中的所有量换成复共轭量如(3)厄密共轭算符：若记即定义：即(4)么正算符满足下面条件的算符性质：不改变两个矢量的内积不改变正交归一性(5)厄密算符两个性质：有1)厄密算符的本征值全是实数的本征值方程为取代入到(29)式中，有：实数(3.1-29)2)厄密算符的相应于不同本征值的本征矢量必定正交代入到上面的积分式中，有：正交对于两个不同的本征值和本征矢量非简并情况§3.2力学量用算符表示3.2-1力学量在体系一个运动状态下的期望值3.2-2力学量的可能取值3.2-3力学量在体系一个运动状态下可能取值的几率分布3.2-4表示力学量算符必须满足的条件3.2-5量子力学的第三条假设3.2-1力学量在体系一个运动状态下

的期望