专题训练之勾股定理典型例题及易错题（一）2024－2025学年北师大版数学八年级上册.docxVIP

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勾股定理专题训练（一）

☆本课目标

勾股定理的探索、勾股定理在几何计算中的应用

☆☆知识点梳理

一、勾股定理的几何语言：

在RT△ABC中

2、常见的勾股数：

二、勾股定理的逆定理几何语言

在△ABC中

或△ABC是直角三角形

勾股定理在几何计算的应用：

翻折

旋转

☆☆☆典型例题

板块一、勾股定理的探索

例1、如图1，有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，如图2，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形．再经过一次“生长”后，变成图3；“生长”10次后，变成图4．如果继续“生长”下去，它将变得更加“枝繁叶茂”．

（1）随着不断的“生长”，形成的图形中所有正方形的面积和也随之变化．若生长n次后，变成的图中所有正方形的面积用Sn表示，则Sn=；

（2）S0=，S1=，S2=，S3=；

（3）S0+S1+S2+…+S10=．

变式练习：

1、在直线上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是、、、，则（）

A.2B.3C.4D.5

2、如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC+∠DCB=90°，且BC=2AD，以AB、BC、DC为边向外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，若S1=3，S3=9，则S2的值为

板块二：勾股定理在几何计算中的应用

例2、如图，已知中，，AB=BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线、、上，

且，之间的距离为2，,之间的距离为3，则AC的长是（）

B.C.D.7

变式练习：

1、如图，已知△ABC中，=90°，AB=BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为2，l2，l3之间的距离为3，则△ABC的面积是

例3、在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，若AD=，BC=，则△ABC的周长为。

变式练习：

1、有一个直角三角形的两直角边长为p，q，斜边长为r，且p+q=6,r=5，则此三角形的面积为

2、如图，在直角三角形ABC中，斜边AB长为5，周长为，则斜边上的高CD是；

2

24题图

3、如图，中，，为边上的中线，若，周长为，则的面积为

板块三：利用勾股定理求最短距离

例4、（1）如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm,高为6cm，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要____________cm.

（2）如图，圆柱形容器中，高为120cm，底面周长为100cm，在容器内壁离容器底部40cm的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿40cm与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为cm．（容器厚度忽略不计）

变式练习：

1、如图，已知圆柱底面的周长为24cm，高为5cm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的长度至少长cm．

2、如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为??????cm.

3、如图，将一根长为24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为h，则h的最小值是cm

例5、在△ABC中，AB，BC,AC三边的长分别为，求这个三角形的面积，小明同学在解答这道题时，先画一个正方形网格(每个小正方形的边长为1)，再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处）如图①所示．这样不需要求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积，这种方法叫做构图法．

（3）利用第（2）小题解题方法完成下题：如图②，一个六边形绿化区ABCDEF被分割成7个部分，正方形ABQP，CDRQ，EFPR的面积分别为10，13，17；

=1\*GB3①证明△PQR的面积与△APF的面积相等

=2\*GB3②求六边形绿化区ABCDEF的面积（直接写出答案，不用写过程）．

变式练习：

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