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§4具有某些特性的函数第一章实数集与函数定义1:设f是定义在D上的函数,若存在常数M(L)使?x?D,都有f(x)?M(L?f(x)),xyoLxyoM一有界函数则称f为D上的有上(下)界函数,也称f在D上有上(下)界.M(L)称为f在D的一个上(下)界,如图(如图).定义2.几何意义:由于|f(x)|?M??M?f(x)?M.因此,f(x)在(a,b)内有界就表示在(a,b)内,y=f(x)的图形夹在两平行直线y=?M之间.xyoab?MM设函数f在D上有定义,若存在常数M0,使?x?D,都有|f(x)|?M.则称f在D上有界,易证:函数f在D上有界?f在D上既有上界,又有下界.也称f为D上的有界函数.设函数f在数集D上有定义,若对于?M0(无论M多么大),总?x0?D,使得f(x0)M,称f在D上无上界,也称f为D上的无上界函数.例1:y011x根据定义1,函数f在其定义域D上有上界,是指其值域f(D)为有上界的数集。于是由确界原理可知,数集f(D)有上确界,把数集f(D)的上确界称为f在D上的上确界,通常记作类似的,若f在其定义域D上有下界,我们把数集f(D)的下确界称为f在D上的下确界,通常记作例2:(1)类似可证。二单调函数增函数和减函数统称为单调函数.严格增函数和严格减函数统称为严格单调函数.xyof(x)增xyof(x)减设函数f在区间I上有定义.若?x1,x2?I,当x1x2时,总有(i)f(x1)?f(x2)(f(x1)f(x2)),则称f为I上的增函数(严格增函数).(ii)f(x1)?f(x2)(f(x1)f(x2)),则称f为I上的减函数(严格减函数).例3y=x3,在(??,+?)上严格增.y=x20xy例4y=[x],在R上是增的,但不是严格增的.例5y=x2,在(??,0]上严格减,在[0,+?)上严格增.思考题:定理1.2证明:例6证明:三奇、偶函数.(1)若?x?D,有f(–x)=f(x),则称f为偶函数.(2)若?x?D,有f(–x)=–f(x).,则称f为奇函数.设f是定义在关于原点对称的数集D上的函数.其图形关于y轴对称.其图形关于原点对称.易见,常函数y=c是偶函数.狄利克莱函数D(x)也是偶函数.因为若x为有理数,则–x也是有理数,从而若x为无理数,则–x也是无理数,从而综合起来,总有D(x)=D(–x).因此,D(x)是一个偶函数.D(x)=1=D(–x)D(x)=0=D(–x)例7设函数f的定义域为(?l,l),证明必存在(?l,l)上的偶函数g及奇函数h,使得f?g?h.提示:如果有偶函数g、奇函数h,使得f(x)?g(x)?h(x),则f(?x)?g(x)?h(x),于是证则所以,g为偶函数、h为寄函数,且f(x)?g(x)?h(x).3周期函数.设函数f的定义域为D.若存在常数T?0,使?x?D.有x?T?D.且f(x?T)=f(x).则称f为周期函数.T称为f的周期.由于周期函数的函数值是呈周期变化的.因此,周期函数的图形也是呈周期性变化.会周而复始的重复出现.如y=sinx,y=cosx.
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