2024-2025学年湖南省天壹名校联盟高二(上)入学数学试卷(含解析).docx

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2024-2025学年湖南省天壹名校联盟高二(上)入学数学试卷

一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知空间向量a=(x,1,2),b=(4,2,4),若a⊥b,则

A.1 B.?52 C.?3

2.已知集合A={x|log2(x+1)≤2},B={?3,?1,2,5},则A∩B=

A.{?3,?1} B.{?1,2} C.{2} D.{2,5}

3.已知空间向量p=2a?3b+3c,q=3a

A.(5,?3,4) B.(5,?2,4) C.(2,?3,3) D.(3,1,1)

4.样本数据:48,49,50,50,50,50,51,52的方差为(????)

A.1 B.1.25 C.2.5 D.4

5.底面圆周长为2π,母线长为4的圆锥内切球的体积为(????)

A.15π5 B.13π25 C.

6.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω0,|φ|π2)图象的两个相邻对称中心为(π12,0),

A.?π6 B.?π3 C.

7.近日,我国某生命科学研究所的生物研究小组成员通过大量的实验和数据统计得出睡眠中的恒温动物的脉搏率f(单位时间内心跳的次数)与其自身体重W满足f=kW13(k≠0)的函数模型.已知一只恒温动物兔子的体重为2kg、脉搏率为205次?min?1

A.350kg B.450kg C.500kg D.250kg

8.已知函数f(x)=3cosx+|cosx|,若方程|f(x)|=a(a≠0)在区间(0,2π)上有且仅有2个不等的实根x1,x2,则a(x1

A.(4π,8π) B.(2π,4π) C.(0,4π) D.(0,2π)

二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。

9.如图,四棱柱ABCD?A1B1C1D1中,M为CD1的中点,

A.AM=AB+13AD+12

10.已知函数f(x)=(12024)(x+2

A.f(x)为偶函数 B.f(x)的值域为(0,2024]

C.f(x)在[2024,+∞)上单调递减 D.f(66)f(88)

11.已知正数a,b满足a?1a≥2b且

A.a+b的最小值为16 B.a+b的最小值为4

C.a2+b2的最小值为3+2

三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。

12.已知幂函数f(x)=(m2+m?5)xm?1在(0,+∞)上单调递减,则

13.(1+5cosθ)2+(?1+5sinθ

14.已知正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为2,M,N分别为棱AB,C1D1的中点,建立如图所示空间直角坐标系A1xyz,点P(x,y,z)在平面AB

四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

在空间直角坐标系中,已知点A(x,5?x,2x?1),B(1,x+2,2?x),C(1,2,3).

(1)若AC?BC=2,求x的值;

(2)求|AB|

16.(本小题15分)

已知z=a+i1?i(a∈R)为纯虚数.

(1)求a;

(2)求

17.(本小题15分)

2024年西部数学邀请赛于8月4日至10日在上海隆重举行,此次赛事不仅是对中学生数学能力的一次全面考验,更是对数学教育未来发展的深刻实践探索,共有200多名学生参赛,引起社会广泛关注,点燃了全社会对数学的热情.甲、乙、丙3名同学各自独立去做2024年西部数学邀请赛预赛中的某道题,已知甲能解出该题的概率为23,乙能解出而丙不能解出该题的概率为18,甲、丙都能解出该题的概率为12.

(1)求乙、丙各自解出该题的概率;

(2)求甲、乙、丙3人中至少有1

18.(本小题17分)

如图,在直四棱柱ABCD?A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为22的菱形,AA1=2,∠BAD=π3,E,F分别为AB,AA1的中点.

(1)证明:B1

19.(本小题17分)

已知a,b,c分别为锐角△ABC内角A,B,C的对边,A=π4,a=2,|AO|=|OB|=|OC|=R(R为△ABC外接圆的半径).

(1)证明:

答案解析

1.B?

【解析】解:因为a=(x,1,2),b=(4,2,4),且a⊥b,所以4x+2+8=0,解得x=?52.

故选:

2.C?

【解析】解:因为log2(x+1)≤2,所以0x+1≤22,即?1x≤3,

所以A=(?1,3],B={?3,?1,2,5},

所以A∩B={2}.

故选:C.

先解对数不等式求出集合

3.B?

【解析】解:空间向量p=2a?3b+3c,q=3a+b+c,则p+q=

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