专题02“辅助圆”模型解决最值问题（原卷版）.pdfVIP

课前热身

1．（2021•攀枝花）如图，在矩形ABCD中，已知AB=3，BC=4，点P是BC边上一动点（点P不与B，

C重合），连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，则线段MC的最小值为()

5

A．2B．C．3D．10

2

2．（2017•黔东南州）如图，正方形ABCD中，E为AB中点，FE^AB，AF=2AE，FC交BD于O，则

ÐDOC的度数为()

A．60°B．67.5°C．75°D．54°

方法提炼

策略一：角处理的常见策略

“边对角”问题属角的存在性问题特例，具备角处理的通用解法，比如“一线三等角”，“母子型相似”，“整

体旋转法”

策略二：“边对角”→辅助圆（本节重点）

由于“边对角”问题的特殊性，又会产生新的特殊解法，常可以构造辅助圆解题，其核心结构如图：

注意：有圆，常有“定边对定角”；反过来，有“定边对定角”常可以构造辅助圆。

策略三：“半角模型”

45°角常与“半角模型”挂钩，可尝试构造解题

典例精析

【例题1】已知，点A（0,4），B（0，-6），C为x正半轴上一点，且满足∠ACB=45°，则点C

的坐标为

策略一：45°→构造等腰直角三角形→造“一线三直角”

策略二：一个45°→补两个45°→造“一线三等角”

策略三：一个45°→再补一个45°→造“母子型相似”

策略四：“边对角”→辅助圆

策略五：45°→两次对称→正方形中“半角模型”

策略六：45°→等腰直角三角形中“半角模型”

“半角模型”基本结论：

ab=c和关系

x2y2=z2--平方和关系

【变式1】如图，在△ABC中，CO⊥AB于点O，OA=4，OB=6，且∠ACB=30°，求OC的长。

策略一：30°→构直角三角形→造“一线三直角”

策略二：一个30°→再补一个30°→造“母子型相似”

策略三：“定边”AB对“定角”∠ACB→思构辅助圆

【变式2】如图，在△ABC中，CO⊥AB于点O，OA=8，OB=12，且tan∠ACB=2，求OC的长。

策略一：“定边”AB对“定角”∠ACB→思构辅助圆

策略二：∠ACB→构直角三角形→造“一线三直角”

策略三：构造“母子型相似”

策略四：构造“一线三等角”

一、触发隐圆模型的类型

（1）动点到定点定长模型（共顶点的三条等线段）

若P为动点，但AB=AC=AP原理：圆A中，AB=AC=AP

则B、C、P三点共圆，A圆心，AB半径备注：常转全等或相似证明出定长

（2）直角圆周角模型

固定线段AB所对动角∠C恒为90°原理：圆O中，圆周角为90°所对弦是直径

则A、B、C三点共圆，AB为直径备注：常通过互余转换等证明出动角恒为直角

（3）定边对定角模型

固定线段AB所对动角∠P为定值原理：弦AB所对同侧圆周角恒相等

则点P运动轨迹为过A、B、C三点的圆备注：点P在优弧、劣弧上运动皆可

（4）四点共圆模型①

若动角∠A+动角∠C=180°原理：圆内接四边形对角互补

则A、B、C、D四点共圆备注：点A与点C在线段AB异侧

（5）四