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【标题】数学期望在决策型问题中的应用

【作者】付奎

【关键词】数学期望经济问题决策型问题

【指导老师】林昌盛

【专业】数学与应用数学

【正文】

一、引言

在日常生活和经济活动中，公民应该具有合理的决策能力.所谓决策能力就是指决策分析，这是在20世纪发展起来帮助人们在复杂情况下,在可供选择的行动中,作出选择的一组数学模型和数学方法.决策分析有助于阐明许多复杂的情况，那里存在着数目极大的可能的行动以及许多不同的自然状态，决策者必须平衡极大化期望和极小化风险这样的矛盾的要求，还必须在一个多阶段过程的每一个阶段做出决策.例如：个人的采购、求职、投资、企业的生产或经营方案、股票和保险的获利等方面.经常需要对事物的进展情况作出决策，以便用最有利的方式采取行动，由于事物的进展情况和信息往往受随机因素的影响，使得决策带有风险性.因此，人们常把数学期望作为决策参考的重要依据.其原理如下：

1、若离散型随机变量的概率分布列为：

若级数绝对收敛，则称

为的数学期望或均值.

2、若连续型随机变量，其概率密度为

若绝对收敛，则称

的值为的数学期望或均值.

我们知道数学期望是随机变量的概率平均值.因此，数学期望能够从最大程度上刻画、反映出各种随机因素的影响，从而成为风险决策的重要数字特征.

二、主要定义

定义1离散型随机变量的数学期望

设离散型随机变量的分布律为( )=( 1，2， )，若级数绝对收敛，

则称的值为的数学期望(或均值)，记作 ,即

.

定义2连续型随机变量的数学期望

设为连续型随机变量，其概率密度为,若绝对收敛，称的值为的数学期望(或均值)，记作()，即

() .

定义3随机变量函数的数学期望

设是随机变量，=()是的函数，()是连续实函数.

当是离散型随机变量，其分布律为( ) ( 1，2， )，当级数绝

对收敛时，随机变量()的数学期望为:

() [()]

当是连续型随机变量概率密度是，若积分绝对收敛，随机变量=()的数学期望为:

() [()]

数学期望无论从计划还是从决策观点看都是至关重要的，在日常生活和经济活动中，人们往往不自觉地利用它.本文就是通过具体的实例来说明数学期望在决策型问题(日常生活和经济活动中)中的应用.

三、数学期望在实践中的应用

求职决策问题

有三家公司为大学毕业生李明提供了应聘的机会，按面试的时间顺序这三家公司分别记为A、B、C,每家公司都可以提供极好、好、一般三种职位.每家公司根据面试情况决定给予何种职位或拒绝提供职位.按规定，双方在面试后要立即作出决定提供、接受或拒绝某种职位,且不允许毁约.咨询专家在为李明的学业成绩和综合素质进行评估后认为,他获得极好、好、一般、没有的可能性分别为、 、、.

三家公司的工资承诺见下表：李明如果把工资作为首选条件的话,那么他在各公司面试时,对该公司提供的各种职位应如何对策？公司 职位

极好好一般A

B

C

解析：由于面试时间有先有后，使得李明在A、B公司作选择时，还要考虑后面的C公司的情况，所以应先从C公司开始讨论：

C公司的工资期望值为：

(元)

现在考虑B公司.因为B公司的一般职位工资只有2500元，低于C公司的期望值，所以只接受B公司极好或好的职位，否者就到C公司应聘.如此决策时，他的工资期望值为:

(元)

最后考虑A公司.只有极好职位的工资超过3015元，所以他只接受A公司极好的职位，否则就到B公司应聘.

因此，他的总决策是这样的：先去A公司应聘，若A公司提供极好的职位就接受，否则就到B公司应聘，若B公司提供极好或好的职位就接受，否则就到C公司应聘，接受C公司提供的任何职位.在这一决策下，他的工资期望值为：

（元）.

营销决策问题

暑假期间，某书店计划订购一本新版书，根据以往经验来预测，这本新书销售量为、、（本）的概率分别为、、，这本书的订购价为元，销售价为元，如果售不出以后处理剩书每本为元，试确定应订购多少本新书盈利才最大？分析：售出一本新书能得到利润元，处理剩书将亏损元，为决定进货量，应先求出在不同销售量时盈利的数学期望.

解：订购本，销售本，盈利（元），因此，盈利数的分布列为：

（元）

（1）订购本，销售本、本.盈利分别为（元），因此，盈利数的分布列

为：

（元）

（2）订购本，销售本、本、本时盈利分别为（元）、 （元）、 （元），

此时盈利数的分布列为:

元

根据盈利的数学期望较高，决定订本.

投资决策问题

某人有万元,有两种投资方案:一是购买股票,二是存入银行获取利息.买股