弹性力学基础：兼容方程：弹性力学中的边界条件.pdf

弹性力学基础：兼容方程：弹性力学中的边界条件

1弹性力学概述

1.1弹性力学的基本概念

弹性力学是固体力学的一个分支，主要研究弹性体在外力作用下的变形和

应力分布。它基于连续介质力学的基本假设，即材料可以被视为连续的、无间

隙的介质，其内部的物理量（如应力、应变）可以连续变化。弹性力学的核心

在于建立和求解描述弹性体行为的微分方程，这些方程通常包括平衡方程、相

容方程和边界条件。

1.1.1弹性体的分类

线弹性体：材料的应力与应变之间存在线性关系，遵循胡克定律。

非线性弹性体：材料的应力与应变之间的关系是非线性的，适用

于大变形或高应力条件下的材料。

1.1.2胡克定律

胡克定律是线弹性体的基本定律，它表明在弹性限度内，应力与应变成正

比。对于一维情况，胡克定律可以表示为：

=

其中，是应力，是应变，是材料的弹性模量。

1.2弹性体的应力与应变

在弹性力学中，应力和应变是描述材料响应外力的两个关键物理量。

1.2.1应力

应力是单位面积上的内力，可以分为正应力和剪应力。正应力是垂直于截

面的应力，而剪应力是平行于截面的应力。在三维空间中，应力可以用一个二

阶张量表示，称为应力张量。

1.2.2应变

应变是材料变形的度量，可以分为线应变和剪应变。线应变描述了材料在

某一方向上的伸长或缩短，而剪应变描述了材料的剪切变形。同样，应变也可

以用一个二阶张量表示，称为应变张量。

1

1.2.3应力应变关系

在弹性力学中，应力和应变之间的关系由材料的本构方程决定。对于线弹

性材料，这个关系由胡克定律给出，可以表示为：

=:

其中，是应力张量，是应变张量，是弹性常数张量。

1.2.4应力张量和应变张量的表示

在直角坐标系中，应力张量和应变张量可以表示为3x3矩阵。例如，应力

张量可以表示为：

=

应变张量可以表示为：

=

1.2.5平衡方程

平衡方程描述了弹性体内部的力平衡条件，即在任意体积内，作用力的总

和为零。在直角坐标系中，平衡方程可以表示为：

∂∂∂

+++=0

∂∂