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弹性力学基础：内力计算：剪切与扭转的内力分析

1弹性力学基础概念

1.1弹性体与弹性常数

1.1.1弹性体定义

弹性体是指在受到外力作用时，能够产生变形并在外力去除后恢复原状的

物体。这种恢复原状的能力是基于物体内部的弹性力，这些力试图使物体回到

其初始状态。在工程和物理学中，弹性体的概念广泛应用于材料科学，结构分

析，以及机械设计等领域。

1.1.2弹性常数

弹性常数是描述材料弹性性质的物理量，主要包括杨氏模量（Young’s

modulus）、剪切模量（Shearmodulus）、泊松比（Poisson’sratio）等。这些常

数在弹性力学中起着关键作用，用于计算应力与应变之间的关系。

杨氏模量（E）:表示材料在拉伸或压缩时抵抗变形的能力。单位

为帕斯卡（Pa）或牛顿每平方米（N/m²）。

剪切模量（G）:描述材料抵抗剪切变形的能力。单位同样为帕斯

卡（Pa）。

泊松比（ν）:定义为横向应变与纵向应变的比值，无量纲。

1.2应力与应变关系

1.2.1应力定义

应力（Stress）是单位面积上的内力，表示材料内部对施加的外力的响应。

应力可以分为正应力（NormalStress）和剪应力（ShearStress）。正应力是垂直

于材料表面的应力，而剪应力则是平行于材料表面的应力。

1.2.2应变定义

应变（Strain）是材料在应力作用下产生的变形程度，通常表示为原始尺寸

的百分比变化。应变分为线应变（LinearStrain）和剪应变（ShearStrain）。

1.2.3应力应变关系

在弹性范围内，应力与应变之间存在线性关系，这一关系由胡克定律描述。

1

1.3胡克定律解析

1.3.1胡克定律表述

胡克定律（Hooke’sLaw）是弹性力学中的基本定律，由英国物理学家罗

伯特·胡克于1678年提出。该定律表述为：在弹性限度内，材料的应力与应变

成正比。

=

其中：-是应力（单位：Pa）。-是杨氏模量（单位：Pa）。-是应变

（无量纲）。

1.3.2胡克定律应用示例

假设有一根钢丝，其直径为1mm，长度为1m，当受到100N的拉力时，钢

丝的长度增加了0.1mm。已知钢的杨氏模量约为200GPa，我们可以通过胡克定

律计算钢丝的应力和应变。

1.3.2.1数据样例

直径：=1=0.001

长度：=1

拉力：=100

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杨氏模量：=200=200×10

长度增加：=0.1=0.0001

1.3.2.2计算过程

2

1.计算横截面积：=

4

2.计算应力：=

3.计算应变：=

4.验证胡克定律：=

1.3.2.3代码示例

importmath

#定义变量

d=0.001#直径，单位：m

L=1#长度，单位：m

F=100#拉力，单位：N

E=200e9#杨氏模量，单位：Pa

2

delta_L=0.0001#长度增加，单位：m

#计算横截面积

A=math.pi*(d**2