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弹性力学基础：内力计算：应力与应变的概念

1弹性力学概述

1.1弹性力学的研究对象

弹性力学主要研究弹性体在各种外力作用下的变形和应力分布。这里的弹

性体可以是固体材料，如金属、塑料、陶瓷等，也可以是结构体，如桥梁、建

筑物、飞机的机翼等。研究对象的范围广泛，从微观的材料结构到宏观的工程

结构，弹性力学都提供了一套分析和解决问题的理论框架。

1.1.1弹性力学的基本假设

在弹性力学中，为了简化问题，通常会做出以下基本假设：

1.连续性假设：认为材料是连续的，没有空隙，可以无限分割，这

样可以使用微积分来描述材料的性质。

2.完全弹性假设：材料在受力后能够完全恢复到原来的形状，即应

力与应变成正比关系，遵循胡克定律。

3.均匀性假设：材料的物理性质在所有位置都是相同的。

4.各向同性假设：材料的物理性质在所有方向上都是相同的，这对

于许多金属和塑料是合理的假设。

5.小变形假设：变形相对于原始尺寸很小，可以忽略变形对材料性

质的影响。

6.线性假设：应力和应变之间的关系是线性的，适用于应力水平较

低的情况。

1.2弹性力学的基本概念

1.2.1应力

应力是单位面积上的内力，用来描述材料内部的力分布情况。应力可以分

为正应力和剪应力。正应力是垂直于截面的应力，而剪应力是平行于截面的应

力。在三维空间中，应力可以用一个3x3的矩阵来表示，称为应力张量。

1.2.2应变

应变是材料变形的程度，可以分为线应变和剪应变。线应变描述的是材料

在某一方向上的伸长或缩短，而剪应变描述的是材料在某一平面上的剪切变形。

应变同样可以用一个3x3的矩阵来表示，称为应变张量。

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1.2.3胡克定律

胡克定律是弹性力学中的基本定律，描述了在弹性范围内，应力与应变之

间的线性关系。对于一维情况，胡克定律可以表示为：

=

其中，是应力，是应变，是材料的弹性模量，也称为杨氏模量。

1.2.4应力-应变关系

在三维弹性力学中，应力和应变之间的关系更为复杂，通常用广义胡克定

律来描述，即：

=

其中，是应力张量的元素，是应变张量的元素，是弹性常数，描

述了材料的弹性性质。

1.2.5应力分析

应力分析是弹性力学中的一个重要部分，它涉及到计算材料内部的应力分

布。这通常需要解决偏微分方程，如纳维-斯托克斯方程或弹性方程。在实际工

程中，应力分析往往借助于数值方法，如有限元法，来求解复杂结构的应力分

布。

1.2.6应变分析

应变分析关注的是材料的变形情况，它可以帮助我们理解材料在不同载荷

下的行为。应变分析同样需要解决偏微分方程，但与应力分析不同的是，应变

分析更侧重于材料的变形模式和变形量的计算。

1.3弹性力学的应用

弹性力学在工程设计和材料科学中有着广泛的应用。例如，在设计桥梁时，

工程师需要计算桥梁在不同载荷下的应力和应变，以确保其安全性和耐久性。

在材料科学中，通过弹性力学的分析，可以研究材料的弹性性质，为新材料的

开发提供理论依据。

1.4弹性力学的数值方法

在解决复杂的弹性力学问题时，数值方法变得尤为重要。其中，有限元法

是最常用的一种方法。有限元法将复杂的结构分解成许多小的单元，然后在每

个单元上应用弹性力学的基本方程，通过求解这些方程来得到整个结构的应力

和应变分布。

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1.4.1有限元法示例

假设我们有一个简