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弹性力学基础：平衡方程：弹性力学中的微分方程

1弹性力学基础：平衡方程：弹性力学中的微分方程

1.1绪论

1.1.1弹性力学的研究对象

弹性力学主要研究弹性体在各种外力作用下的变形和应力分布。弹性体可

以是固体材料，如金属、塑料、陶瓷等，也可以是结构体，如桥梁、建筑物、

飞机等。研究对象的范围广泛，从微观的材料结构到宏观的工程结构，弹性力

学都提供了分析和设计的理论基础。

1.1.2平衡方程的重要性

平衡方程是弹性力学中的核心概念，它描述了在弹性体内部，力和力矩的

平衡条件。这些方程是基于牛顿第二定律的，即物体的加速度与作用在它上面

的合外力成正比，与它的质量成反比。在弹性力学中，平衡方程通常以微分方

程的形式出现，用于求解弹性体内部的应力和位移。

1.1.3微分方程在弹性力学中的应用

微分方程在弹性力学中用于描述应力、应变和位移之间的关系。通过求解

这些微分方程，可以得到弹性体在特定载荷下的响应，包括变形和应力分布。

例如，对于一个受力的弹性杆，我们可以建立一个一维的微分方程来描述其轴

向应力和位移的关系：

1.1.3.1示例：一维弹性杆的平衡方程

假设一个弹性杆沿x轴受力，其长度为L，截面积为A，弹性模量为E。杆

的一端固定，另一端受力F。我们可以建立以下微分方程来描述杆的轴向位移

u(x)：

-\frac{d}{dx}\left(EA\frac{du}{dx}\right)=0,\quad0xL

边界条件为：

u(0)=0,\quadEA\frac{du}{dx}\Big|_{x=L}=F

1.1.3.2解析解

对于上述微分方程，我们可以求得其解析解：

u(x)=\frac{Fx}{EA}

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这个解表示了弹性杆在力F作用下的轴向位移随x的变化规律。

1.1.3.3数值解

在实际工程问题中，弹性体的形状和载荷可能非常复杂，解析解往往难以

求得。这时，我们可以采用数值方法，如有限元法，来求解微分方程。以下是

一个使用Python和SciPy库求解上述微分方程的简单示例：

importnumpyasnp

fromscipy.integrateimportsolve_bvp

defrod_equation(x,y):

returnnp.vstack((y[1],0))

defrod_boundary(ya,yb):

returnnp.array([ya[0],yb[1]-F])

L=1.0#杆的长度

E=200e9#弹性模量

A=0.01#截面积

F=1000#作用力

x=np.linspace(0,L,100)

y=np.zeros((2,x.size))

y[0,0]=0#初始位移

y[1,-1]=F/(E*A)#最终斜率

res=solve_bvp(rod_equation,rod_boundary,x,y)

u=res.y[0]

print(位移u(x)的最大值为：,u[-1])

在这个例子中，我们使用了scipy.integrate.solve_bvp函数来求解边界值问

题。rod_equation函数定义了微分方程，rod_boundary函数定义了边界条件。

通过求解，我们得到了弹性杆的轴向位移u(x)。

1.1.4结论

弹性力学中的平衡方程和微分方程是分析和设计弹性体的关键工具。无论

是通过解析方法还是数值方法，这些方程都为我们提供了理解材料和结构在载

荷作用下行为的数学框架。掌握这些方程的求解方法，对于工程师和科学家来

说，是必不可少的技能。

请注意，上述示例和解析是基于一个简化的模型。在实际应用中，弹性力

学的问题可能涉及更复杂的微分方程和边界条件，需要更高级的数学和计算技

术来解决。

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2弹性力学基本概念

2.1应力张量的定义

应力张量是描述物体内部各点处应力状态的数学工具。在弹性力学中，应

力张量是一个二阶张量，它在每个点上定义了六个独立的应力分量，包括三个

正应力分量和三个剪应力分量。正应力分量表示作用于物体表面的法向力，而

剪应力分量表示作用于物体表面的切向力。

2.1.1应力张量的表示