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弹性力学基础：平衡方程：胡克定律与弹性模量

1弹性力学基础：绪论

1.1弹性力学的基本概念

弹性力学是固体力学的一个分支，主要研究弹性体在外力作用下的变形和

应力分布。它基于连续介质力学的基本假设，即材料可以被视为连续的、无间

隙的介质，其性质在任何点上都是均匀的。弹性力学的核心在于理解和预测材

料在不同载荷下的行为，这包括了材料的弹性、塑性、断裂等特性。

在弹性力学中，我们关注的主要概念包括：

应力（Stress）：单位面积上的内力，通常用张量表示，分为正应

力和剪应力。

应变（Strain）：材料在外力作用下发生的变形程度，也用张量表

示，分为线应变和剪应变。

弹性模量（ElasticModulus）：描述材料弹性性质的物理量，包括

杨氏模量、剪切模量和体积模量等。

胡克定律（Hooke’sLaw）：在弹性范围内，应力与应变成正比，

比例常数即为弹性模量。

1.2胡克定律的历史背景

胡克定律是由英国科学家罗伯特·胡克（RobertHooke）于1678年提出的，

最初表述为“力与伸长成正比”。胡克在研究弹簧的性质时发现了这一规律，后

来这一原理被广泛应用于各种弹性材料的研究中。胡克定律不仅为弹性力学奠

定了基础，也促进了材料科学和工程学的发展。

1.2.1胡克定律的数学表达

胡克定律可以用以下数学表达式表示：

=

其中，是应力，是应变，是杨氏模量，即材料的弹性模量。对于三维

情况，胡克定律可以扩展为应力应变关系的张量形式。

1.2.2胡克定律的应用示例

假设我们有一根长度为1米、截面积为0.01平方米的钢棒，当它受到100

牛顿的拉力时，其长度增加了0.001米。我们可以使用胡克定律来计算钢棒的

杨氏模量。

首先，计算正应力：

100

===10000Pa 

0.01

1

然后，计算线应变：

0.001

===0.001

1

最后，根据胡克定律计算杨氏模量：

10000

===Pa

0.001

1.2.3胡克定律的限制

胡克定律只在材料的弹性范围内成立，一旦外力超过材料的弹性极限，材

料将发生塑性变形，胡克定律将不再适用。此外，对于非线性材料，应力与应

变的关系将不再是简单的线性比例，而是更为复杂的函数关系。

1.3弹性力学的发展

自胡克定律提出以来，弹性力学经历了从一维到多维、从线性到非线性的

理论发展。现代弹性力学不仅研究固体的静态平衡，还涉及动态响应、热效应、

电磁效应等复杂情况，是材料科学、土木工程、机械工程等领域的基础理论之

一。

1.4结语

弹性力学的基础概念和胡克定律为我们理解材料在外力作用下的行为提供

了理论框架。通过深入研究这些原理，工程师和科学家能够设计出更安全、更

高效的结构和材料。

2弹性力学基础：胡克定律与弹性模量

2.1应力与应变的定义

在弹性力学中，应力（Stress）和应变（Strain）是两个基本概念，用于描

述材料在受力时的行为。

2.1.1应力

应力定义为单位面积上的内力，通常用符号σ表示。它分为两种类型：-

正应力（NormalStress）：