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弹性力学基础：位移函数：位移函数在接触问题中的应用

1弹性力学基础概论

1.1弹性力学的基本概念

弹性力学是固体力学的一个分支，主要研究弹性体在外力作用下的变形和

应力分布。弹性体是指在外力作用下能够发生变形，当外力去除后，能够恢复

到原来形状的物体。在弹性力学中，我们关注的是物体的内部应力和应变，以

及它们与外力之间的关系。

1.1.1应力

应力（Stress）是单位面积上的内力，通常用符号σ表示。它描述了物体内

部各部分之间相互作用的强度。应力可以分为正应力（NormalStress）和切应

力（ShearStress）。正应力是垂直于截面的应力，而切应力则是平行于截面的应

力。

1.1.2应变

应变（Strain）是物体在外力作用下发生的变形程度，通常用符号ε表示。

应变可以分为线应变（LinearStrain）和剪应变（ShearStrain）。线应变描述了物

体长度的变化，而剪应变描述了物体形状的改变。

1.2应力与应变的关系

在弹性力学中，应力与应变之间的关系是通过材料的本构方程来描述的。

对于线弹性材料，应力与应变之间存在线性关系，这种关系可以通过胡克定律

来表达。

1.2.1胡克定律

胡克定律（Hooke’sLaw）是描述线弹性材料应力与应变之间关系的基本

定律。对于一维情况，胡克定律可以表示为：

⋅

=

其中，σ是应力，ε是应变，E是弹性模量，也称为杨氏模量。弹性模量

是材料的固有属性，反映了材料抵抗变形的能力。

1.2.2弹性模量

弹性模量（ElasticModulus）是衡量材料弹性性质的重要参数。对于不同的

材料，其弹性模量的大小不同，这直接影响了材料在外力作用下的变形程度。

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例如，钢铁的弹性模量远大于橡胶，因此在相同的应力下，钢铁的变形远小于

橡胶。

1.3胡克定律与弹性模量

胡克定律不仅适用于一维情况，也适用于多维情况。在三维情况下，胡克

定律可以表示为：

=⋅

=⋅

=⋅

=⋅

=⋅

=⋅

其中，σ_x,σ_y,σ_z是三个主应力方向上的正应力，ε_x,ε_y,ε_z是对

应的线应变，τ_{xy},τ_{yz},τ_{zx}是切应力，γ_{xy},γ_{yz},γ_{zx}是对应的剪

应变，G是剪切模量。剪切模量与弹性模量之间存在一定的关系，可以通过泊

松比（ν）来联系：

=

21+

1.3.1示例：计算弹性体的应力和应变

假设我们有一个弹性体，其弹性模量E=200GPa，泊松比ν=0.3。当该弹性

体受到一个沿x方向的拉力，导致其沿x方向的线应变为0.001时，我们可以

计算出沿x方向的正应力：

#定义材料属性

E=200e9#弹性模量，单位：Pa

nu=0.3#泊松比

#定义应变

epsilon_x=0.001

#计算正应力

sigma_x=E*epsilon_x

#输出结果

沿方向的