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弹性力学基础：位移函数：应力与应变的概念

1弹性力学概述

1.1弹性力学的研究对象

弹性力学主要研究在外部力作用下，固体材料如何发生变形以及内部应力

如何分布。其研究对象广泛，包括但不限于：

工程结构：桥梁、建筑物、飞机、船舶等。

机械零件：齿轮、轴承、弹簧、螺栓等。

地质结构：岩石、土壤、地壳板块等。

生物材料：骨骼、肌肉、细胞等。

1.1.1弹性力学的基本假设

为了简化分析，弹性力学通常做出以下基本假设：

1.连续性假设：认为材料在宏观上是连续的，没有空隙或裂纹。

2.完全弹性假设：材料在变形后能够完全恢复原状，即应力与应变

成正比关系。

3.均匀性假设：材料的物理性质在所有位置上是相同的。

4.各向同性假设：材料的物理性质在所有方向上是相同的。

5.小变形假设：变形相对于原始尺寸很小，可以忽略变形对尺寸的

影响。

6.线性假设：应力与应变之间的关系是线性的，遵循胡克定律。

1.2弹性力学的基本假设

在深入探讨弹性力学的数学模型之前，我们先回顾一下上述的基本假设，

它们是构建弹性力学理论的基石。

1.2.1连续性假设

在连续性假设下，材料被视为没有空隙的连续介质，这意味着在材料内部

的任何点上，物理量（如应力、应变）都是连续的。这一假设允许我们使用微

积分来描述材料的变形和应力分布。

1.2.2完全弹性假设

完全弹性假设意味着材料在去除外力后能够完全恢复到原始状态，没有永

久变形。在这一假设下，应力与应变之间的关系是线性的，遵循胡克定律。例

如，对于一维情况，胡克定律可以表示为：

1

应力弹性模量应变

σ=E*ε

其中，σ是应力，E是弹性模量，ε是应变。

1.2.3均匀性假设

均匀性假设表明材料的物理性质（如密度、弹性模量）在所有位置上是相

同的。这简化了分析，使得我们可以假设材料的性质是常数，而不是随位置变

化的函数。

1.2.4各向同性假设

各向同性假设意味着材料的物理性质在所有方向上是相同的。这对于分析

大多数工程材料（如金属、塑料）是合理的，但对于某些材料（如木材、复合

材料）则可能不适用，因为它们在不同方向上的性质可能不同。

1.2.5小变形假设

小变形假设认为材料的变形相对于其原始尺寸是微小的，可以忽略变形对

尺寸的影响。这使得我们可以使用线性理论来近似分析，而无需考虑非线性效

应。

1.2.6线性假设

线性假设是基于完全弹性假设的，它表明应力与应变之间的关系是线性的。

在这一假设下，我们可以使用线性代数和微分方程来描述和求解问题。

1.3弹性力学的数学模型

基于上述假设，弹性力学的数学模型主要由平衡方程、几何方程和物理方

程组成。

1.3.1平衡方程

平衡方程描述了在材料内部，力和力矩的平衡条件。在三维情况下，平衡

方程可以表示为：

∇·σ+f=0

其中，σ是应力张量，f是体积力（如重力）。

1.3.2几何方程

几何方程描述了材料变形与位移之间的关系。在小变形假设下，几何方程

可以简化为：

ε=∇u

其中，ε是应变张量，u是位移向量。

2

1.3.3物理方程

物理方程，即胡克定律，描述了应力与应变之间的关系。在各向同性材料

中，胡克定律可以表示为：

σ=C:ε

其中，C是弹性常数张量，它包含了材料的弹性模量和泊松比。

1.4弹性力学的应用

弹性力学在工程设计和分析中有着广泛的应用，包括但不限于：

结构设计：确保桥梁、建筑物等结构在各种载荷下能够安全工作。

机械设计：优化齿轮、轴承等机械零件的性能和寿命。

材料科学：研究材料的力学性质，如弹性模量、泊松比等。

地质工程：分析岩石和土壤的稳定性，预测地震等自然灾害的影

响。