弹性力学数值方法：混合元法：非线性弹性力学问题的混合元法求解.pdf

弹性力学数值方法：混合元法：非线性弹性力学问题的混

合元法求解

1绪论

1.1混合元法的历史和发展

混合元法（MixedFiniteElementMethod）作为有限元法的一种，自20世纪

60年代由I.Babuška和J.Osborn等人提出以来，经历了显著的发展。它通过将

问题分解为多个独立的未知量，如位移和应力，来求解偏微分方程。这种方法

在处理流体动力学、固体力学、电磁学等领域的问题时，展现出了独特的优势。

1.1.1发展历程

1960s:混合元法最初被提出，主要用于解决流体动力学中的问题。

1970s-1980s:随着计算机技术的进步，混合元法开始被应用于更

广泛的领域，包括固体力学和电磁学。

1990s-2000s:研究者们开始关注混合元法在非线性问题中的应用，

特别是在非线性弹性力学中，以解决更复杂、更实际的工程问题。

2010s至今:随着高性能计算的普及，混合元法在处理大规模非线

性弹性力学问题上变得更加高效和精确。

1.2非线性弹性力学问题的概述

非线性弹性力学问题涉及材料在大变形或高应力状态下的行为，其中材料

的应力-应变关系不再是线性的。这类问题在工程实践中非常常见，例如在设计

桥梁、飞机结构、生物医学设备时，都需要考虑材料的非线性响应。

1.2.1基本概念

大变形:当物体的变形量与原始尺寸相比不可忽略时，需要使用非

线性弹性力学理论。

高应力状态:在高应力条件下，材料的弹性模量可能发生变化，导

致非线性响应。

应力-应变关系:非线性弹性力学中，应力与应变的关系通常由复

杂的非线性函数描述。

1.2.2数学模型

非线性弹性力学问题的数学模型通常基于以下方程：

平衡方程:描述了物体内部的力平衡条件。

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本构关系:描述了材料的应力与应变之间的关系，对于非线性材料，

这通常是一个非线性方程。

几何方程:将应变与位移联系起来，对于大变形问题，这需要使用

非线性几何方程。

1.2.3混合元法的应用

混合元法在求解非线性弹性力学问题时，通过引入额外的未知量（如应力

或压力），可以更准确地捕捉材料的非线性行为。这种方法在处理复杂的边界条

件和材料属性时尤为有效。

1.3示例：使用混合元法求解非线性弹性问题

假设我们有一个简单的非线性弹性问题，即一个受拉伸的非线性弹性杆。

我们将使用混合元法来求解这个问题。

1.3.1问题描述

考虑一个长度为的弹性杆，两端分别固定和受力。杆的横截面积为，

材料的应力-应变关系为非线性，具体为：

=

其中，应力，应变，是应变依赖的弹性模量。

1.3.2混合元法求解步骤

1.离散化:将弹性杆离散为多个小段，每段视为一个元。

2.选择位移和应力的插值函数:位移和应力在每个元内用多项式表示。

3.建立弱形式:将问题的强形式转化为弱形式，引入位移和应力的测

试函数。

4.求解:通过迭代方法求解非线性方程组，直到满足收敛准则。

1.3.3代码示例

以下是一个使用Python和FEniCS库求解上述问题的简化代码示例：

fromfenicsimport*

importnumpyasnp

#定义网格和函数空间

mesh=IntervalMesh(100,0,1)

V=FunctionSpace(mesh,Lagrange,1)

S=FunctionSpace(mesh,DG,0)

W=V*S

#定义边界条件

defboundary(x,on_boundar