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弹性力学数值方法：解析法：弹性力学解析法导论

1弹性力学的基本概念

弹性力学是固体力学的一个分支，主要研究弹性体在外力作用下的变形和

应力分布。它基于三个基本假设：连续性、完全弹性、小变形。在弹性力学中，

我们关注的主要概念包括：

应力（Stress）：单位面积上的内力，通常用张量表示，分为正应

力和剪应力。

应变（Strain）：物体变形的程度，也是用张量表示，分为线应变

和剪应变。

弹性模量（ElasticModulus）：描述材料弹性性质的物理量，包括

杨氏模量、剪切模量和泊松比。

平衡方程（EquilibriumEquations）：描述物体在静力平衡状态下的

力平衡和力矩平衡条件。

几何方程（GeometricEquations）：连接应力和应变的关系，反映

物体变形的几何特性。

物理方程（PhysicalEquations）：描述应力和应变之间的物理关系，

即材料的本构关系。

1.1解析法在弹性力学中的应用

解析法是求解弹性力学问题的一种直接方法，它基于数学分析，通过求解

微分方程来获得问题的精确解。解析法适用于边界条件简单、几何形状规则、

材料性质均匀的弹性体问题。在实际应用中，解析法可以用于：

梁的弯曲问题：利用欧拉-伯努利梁理论，求解梁在不同载荷下的

弯曲变形和应力分布。

板壳问题：通过柯西-拉梅方程，分析板壳结构在各种载荷下的响

应。

弹性体的应力分析：使用纳维-斯托克斯方程或拉普拉斯方程，求

解弹性体内部的应力分布。

1.1.1示例：梁的弯曲问题

假设有一根简支梁，长度为L，受到均布载荷q的作用。我们可以使用欧

拉-伯努利梁理论来求解梁的挠度y(x)。

微分方程为：

4

=−

4

其中，E是杨氏模量，I是截面惯性矩。

边界条件为：

0=0, =0, |=0, |=0

0

1

使用符号计算库如SymPy，我们可以求解上述微分方程。

importsympyassp

#定义变量

x,q,E,I=sp.symbols(xqEI)

L=10#梁的长度

#定义微分方程

y=sp.Function(y)(x)

diffeq=sp.diff(y,x,4)+q/(E*I)

#求解微分方程

solution=sp.dsolve(diffeq,y)

#应用边界条件

C1,C2,C3,C4=sp.symbols(C1C2C3C4)

y_solution=solution.rhs.subs({y:C1+C2*x+C3*x**2+C4*x**3})

boundary_conditions=[

y_solution.subs(x,0)-0,

y_solution.subs(x,L)-0,

sp.diff(y_solution,x).subs(x,0)-0,

sp.diff(y_solution,x).subs(x,L)-0

]

#解边界条件方程组

constants=sp.solve(boundary_conditions,(C1,C2,C3,C4))

y_solution=y_solution.subs(constants)

#打印结果

print(梁的