弹性力学数值方法：有限体积法(FVM)：二维弹性问题的FVM解法.pdfVIP

弹性力学数值方法：有限体积法(FVM)：二维弹性问题的

FVM解法

1弹性力学数值方法：有限体积法(FVM)：二维弹性问题的

FVM解法

1.1绪论

1.1.1有限体积法(FVM)简介

有限体积法(FiniteVolumeMethod,FVM)是一种广泛应用于流体力学、热传

导、电磁学以及固体力学等领域的数值方法。它基于守恒定律，将计算域划分

为一系列控制体积，然后在每个控制体积上应用守恒定律，从而得到一组离散

方程。FVM的主要优势在于它能够很好地处理复杂的几何形状和边界条件，同

时在处理对流主导问题时表现出色。

1.1.2维弹性问题概述

二维弹性问题通常涉及在平面应力或平面应变条件下，研究物体在外力作

用下的变形和应力分布。这类问题在工程设计和分析中极为常见，例如桥梁、

大坝、飞机机翼等结构的分析。在二维弹性问题中，我们主要关注的是应力-应

变关系、平衡方程以及边界条件。

1.1.3FVM在弹性力学中的应用背景

在弹性力学中，有限体积法的应用主要集中在解决复杂的应力和应变问题

上。相比于有限元法，FVM在处理非线性问题和大变形问题时，能够提供更准

确的解。此外，FVM在处理材料的非均匀性和各向异性时也表现出色，这使得

它成为解决实际工程问题的理想工具。

1.2有限体积法在二维弹性问题中的应用

1.2.1控制体积的划分

在二维弹性问题中，我们首先需要将计算域划分为一系列控制体积。这些

控制体积可以是矩形、三角形或任意多边形，具体形状取决于问题的几何复杂

度。例如，对于一个矩形区域，我们可以将其划分为均匀的矩形网格。

importnumpyasnp

importmatplotlib.pyplotasplt

1

#定义网格尺寸

nx,ny=10,10

dx,dy=1,1

#创建网格

x=np.linspace(0,nx*dx,nx+1)

y=np.linspace(0,ny*dy,ny+1)

X,Y=np.meshgrid(x,y)

#绘制网格

plt.figure()

plt.plot(X,Y,k)

plt.plot(X.T,Y.T,k)

plt.xlabel(x)

plt.ylabel(y)

plt.title(2DMesh)

plt.show()

1.2.2守恒定律的应用

在每个控制体积上，我们应用守恒定律来建立离散方程。对于弹性问题，

这通常涉及到平衡方程的离散化。例如，对于平面应力问题，我们有以下平衡

方程：

∂∂

++=0

∂∂

∂∂

++=0

∂∂

其中，和分别是x和y方向的正应力，是剪应力，和是外

力。

1.2.3离散方程的建立

在有限体积法中，我们通过在控制体积上积分平衡方程来建立离散方程。

例如，对于上述的平面应力问题，我们可以在一个控制体积上积分平衡方程，

然后应用高斯定理将体积积分转换为表面积分，从而得到控制体积的离散方程。

#假设我们有以下离散方程

#对于每个控制体积，我们有

#(sigma_x[i+1,j]-sigma_x[i-1,j])/(2*dx)+(tau_xy[i,j+1]-tau_xy[i,j-1])/(2*dy)+f_x[i,j]=0

#