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关于报童问题的分析

摘要

本文讨论了单周期的随即贮存模型——报童问题。通过运用蒙特卡洛（MC）

算法、插值拟合等基本模型，运用概率论与数理统计的背景知识，得出每天报纸

需求量的概率分布，建立报童收益模型，以达到报童最大收益为目的，使报童每

天的进货量与需求量尽可能地吻合，以使损失最少，收益最大。

在问题一中，首先对题目中给出的报童159天的报纸需求量进行概率分布计

frr

算，得出报纸需求量的概率分布()，0,1,2...，代建立好的报童收益模型

r

中求出平均收益的最大值MaxGn，fr，n。

()33.7358()200

n

在问题二中，即将第一问中的概率分布fr转化为概率密度pr，在Matlab

()()

工具箱子CFtool中计算得出此时概率密度为正态分布，将问题一模型中的求和

n

转化为积分，通过对目标求导等手段分析得出每天的报纸进货量。其中

(x190.1)2

()

pre54.98，Gn（），n

()()

关键词

随即贮存，概率分布，概率密度，平均收益

1、问题重述

1.１问题背景

在实际生产生活过程中，经常会遇到一些随时间、地点、背景不同而发生变

化的事物，例如报纸的销售的问题。如果报纸的销售量小于需求量，则会给报童

带来缺货损失，失去一部分潜在客户，一部分报纸失销（为简化计算，在本模型

中我忽略缺货损失）；如果报纸的销售量大于需求量，则会导致一部分报纸被

退回报社，给报童造成一部分退货损失，减少盈利。所以在实际考虑中，应使报

纸的购量尽可能地吻合需求量，减少报童的损失，获得更大的盈利。

１.２报童获利途径

报童以每份元的价格买进报纸，以元的价格出售。当天销售不出去

的报纸将以每份元的价格退还报社。根据长期统计，假设已经得到了159天报纸

需求量的情况。对现有数据分析，得出报童每天最佳买进报纸量，使报童的平均

总收最大。

１.３问题提出

现在需用数学建模解决以下问题：

问题1：若将据报纸需求量看作离散型分布，试根据给出统计数据，求出报

纸需求量的分布律，并建立数学模型，确定报童每天买进报纸的数量，使报童的

平均总收最大

问题2：若将据报纸需求量看作连续型分布，试根据给出的统计数据，进行

分布假设检验，确定该报纸需求量的分布，并建立数学模型，确定报童每天买进

报纸的数量，使报童的平均总收最大

２、模型设

（１）假设报童在以后的日子里需求量概率分布概率密度遵循这159天的规律

（２）假设不考虑缺货损失

（３）假设报童进报纸量达到一定数量后不会产生贮存等其他费用

（４）假设报童每天都能买进计算出来的应进报纸量

３、符号说明

r报纸需求量

fr

()报纸需求量概率分布（离散型）

pr

()报纸需求量概率密度（连续性）

Gn

()报童每天购进n份报纸的平均收

gn

()报童一天的利润收

n报童每天买进报纸量

p1rn时的概率

p2