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证题法与证题术(一)命题的四种变化命题:一句判断性语句.涉及判断的条件(前提、假设),判断的成果(结论).公理、定理等形式出现.普通以定义、1.命题的四种变化及其等价性若A,则B.原命题:记作:原命题逆命题否命题逆否命题互逆互逆互否互否互逆否(换位)(换质)(换位+换质)
2.四种命题的真假关系两条:①原命题真,其逆命题、否命题未必真;②互为逆否命题的命题,真则同真,假则同假.例1请说出命题:“若a,b都是偶数,则a+b是偶数.”的逆命题、否命题、以及逆否命题.启示:要证原命题对的,可转化为证逆否命题对的.原命题:“若a,b都是偶数,则a+b是偶数.”逆命题:“若a+b是偶数,则a,b都是偶数.”否命题:“若a,b不都是偶数,则a+b不是偶数.”逆否命题:“若a+b不是偶数,则a,b不都是偶数.”例2请说出命题:“若四边形两组对边平行,则为平行四边形.”的逆命题、否命题、逆否命题.注意否认语言的精确化、通俗化
3.充足条件、必要条件、充要条件①若为真命题,则称P为Q的充足条件;Q为P的必要条件.②若都为真命题,则称P,Q互为充要条件.充足、必要的意义能够概括为:①充足:有它必行,无它未必不行;②必要:无它必不行;有它未必行,③充要:有它必行,无它必不行.例3请分析命题:“若a,b都是偶数,则a+b是偶数.”的充足、必要、充要条件.例4请分析命题:“若四边形两组对边平行,则为平行四边形.”的充足、必要、充要条件.
4.命题的证明①证明的构成:论题:规定对的或者猜想要对的,体现清晰;论据:规定充足,理由不虚假;论证:规定严谨,不以偏概全,不循环等.②错证明例:例5证明:△内角和为180°.证:设△内角和为则因此,结论成立.
③逆命题的证明办法:一.直接证明:将原命题的证明过程逆推二.证明与逆命题等价的否命题三.运用原命题证明逆命题例6证明:线段的中垂线上任一点到线段两端点距离相等.分别运用第一、二种办法证明该命题的逆命题.逆命题:到线段两端点距离相等的点一定在线段中垂线上.例7运用定理:二直线被同始终线所截,若同位角相等,则二直线平行,证明其逆定理.逆定理:若二直线平行,则同位角相等.
④分断式命题:在一种命题中,假设和结论有相似款数,并且假设和结论都满足既穷举又互斥.这样的命题称为分断式命题.例如:在圆O内作内接△ABC,且与△ABC在公共边同侧.则(1)若在上,则(2)若在内部,则(3)若在外部,则注意:如果分断式命题为真,那么其逆命题为真;
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