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高中数学抛物线题型归类

高中数学抛物线题型归类

一、基础知识

1、抛物线的定义：平面上，到一个定点(F)和一条定直线(l)的距离

相等的点的集合。

2、抛物线的标准方程：右开口抛物线的标准方程为y^2=2px，左

开口抛物线的标准方程为y^2=-2px，上下开口抛物线的标准方程

为y^2=2p(x+k)和y^2=2p(x-k)。

3、抛物线的性质：抛物线是平滑的曲线，它关于轴、轴和原点对称，

它的焦点在直线上，它的准线与直线的交点在对称轴上。

二、常见题型

1、抛物线的定义题例1.已知抛物线的方程为y^2=4x，F是抛物

线的焦点，准线与对称轴的交点为M，过M作直线l交抛物线于A、B

两点，求证：AF、MF、BF成等比数列。解：设A、B的横坐标分别

为x1、x2，根据抛物线的定义，得|AF|=x1+1，|MF|=-1，|BF|

=x2+1，因为x1+x2=4，所以(x1+1)^2=(x2+1)(4-x2)，

即x1^2+2x1-3x2-4=0，由此得到(x1+3)(x1-4)=-3(x2

+1)，即x1x2=-12，所以|AF||BF|=|MF|^2，即AF、MF、BF成

等比数列。

2、抛物线的标准方程题例2.已知抛物线的焦点在y轴上，且经过

点A(0,6)和B(6,0)，求此抛物线的标准方程。解：设此抛物线的

标准方程为x^2=2py(p0)，因为抛物线经过点A(0,6)，所以6

=2p，解得p=3，因此此抛物线的标准方程为x^2=6y。

3、抛物线的几何性质题例3.已知抛物线y^2=ax(a0)上有两

个不同的点A和B，它们的横坐标分别为x1、x2，且满足条件x1^2+

x2^2=a^2+6a-8。求证：直线AB的斜率为-4a。解：因为A和

B是抛物线上的两个不同的点，所以可以设它们的坐标分别为(x1,y1)

和(x2,y2)。根据抛物线的定义，可得x1^2=ay1^2，x2^2=ay2^2，

两式相加得x1^2+x2^2=a(y1^2+y2^2)。因为x1^2+x2^2=a^2

+6a-8，所以a(y1^2+y2^2)=a^2+6a-8。因为A和B不重

合，所以y1和y2不相等，所以y1-y2不为0，因此可得直线AB

的斜率为(y1-y2)/(x1-x2)=-a/4。

4、与抛物线相关的综合题例4.已知直线y=x+b与抛物线y^2=

ax相交于A、B两点，且OA垂直于OB，求b的值。解：设A的坐标

为(x1,y1)，B的坐标为(x2,y2)，因为OA垂直于OB，所以向量

OA与向量OB的数量积等于0。根据向量OA与向量OB的数量积

的公式，可得x1x2+y1y2=0。又因为A、B两点都在直线y=x+

b和抛物线y^2=ax上，所以可以列出两个方程：x1+b=ay1和

x2+b=ay2。将这两个方程联立消