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2024-2025学年北京师大附属实验中学高三(上)月考数学试卷
一、单选题:本题共10小题,每小题4分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={x|?4x2},B={x|x2≤9},则A∪B=
A.(?4,3] B.[?3,2) C.(?4,2) D.[?3,3]
2.若复数(a+i)(1+i)(a∈R)为纯虚数,则a的值为(????)
A.?1 B.0 C.1 D.2
3.在(x?1x2)4的展开式中,
A.?4 B.4 C.?6 D.6
4.下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递增的是(????)
A.f(x)=?lnx B.f(x)=12x C.f(x)=?
5.设a,b∈R,ab≠0,且ab,则(????)
A.baab B.|ba
6.已知圆C过点A(?1,2),B(1,0),则圆心C到原点距离的最小值为(????)
A.12 B.22 C.1
7.已知正方形ABCD的边长为2,点P满足AP=12(AB+
A.2 B.?4 C.4 D.2
8.已知函数f(x)=sin(x+φ).则“f(?1)=f(1)”是“f(x)为偶函数”的(????)
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
9.已知以边长为4的正方形为底面的四棱锥,四条侧棱分别为4,4,22,2
A.22 B.32 C.
10.若函数f(x)=2x+3,x≤0(x?2)2
A.(0,1] B.(0,1) C.(1,4) D.(2,4)
二、填空题:本题共5小题,每小题5分,共25分。
11.抛物线y2=2x的焦点坐标为??????????.
12.若点P(cosθ,sinθ)与点Q(cos(θ+π6),sin(θ+π
13.如图,在正三棱柱ABC?A1B1C1中,P是棱BB1上一点,
14.设O为原点,双曲线C:x2?y23=1的右焦点为F,点P在C的右支上.则C的渐近线方程是??????????
15.对于数列{an},令Tn=a1?a2+a3?a4+?+(?1)n+1an,给出下列四个结论:
①若an=n,则T2023=1012;
②若Tn=n
三、解答题:本题共6小题,共85分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
16.(本小题13分)
如图,在三棱锥P?ABC中,PA⊥平面ABC,PA=AB=BC=1,PC=3.
(1)求证:BC⊥平面PAB;
(2)求二面角A?PC?B的大小.
17.(本小题13分)
在△ABC中,bsin2A=3asinB.
(Ⅰ)求∠A;
(Ⅱ)若△ABC的面积为33,再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使△ABC存在且唯一确定,求a的值.
条件①:sinC=277;条件②:bc=3
18.(本小题14分)
H地区农科所统计历年冬小麦每亩产量的数据,得到频率分布直方图(如图),考虑到受市场影响,预测该地区明年冬小麦统一收购价格情况如表(该预测价格与亩产量互不影响).
明年冬小麦统一收购价格(单位:元/kg)
2.4
3
概率
0.4
0.6
假设图中同组的每个数据用该组区间的中点值估算,并以频率估计概率.
(Ⅰ)试估计H地区明年每亩冬小麦统一收购总价为1500元的概率;
(Ⅱ)设H地区明年每亩冬小麦统一收购总价为X元,求X的分布列和数学期望;
(Ⅲ)H地区农科所研究发现,若每亩多投入125元的成本进行某项技术改良,则可使每亩冬小麦产量平均增加50kg.从广大种植户的平均收益角度分析,你是否建议农科所推广该项技术改良?并说明理由.
19.(本小题15分)
如图,已知椭圆E:y2a2+x2b2=1(ab0)的一个焦点为F1(0,1),离心率为22.
(Ⅰ)求椭圆E的方程;
(Ⅱ)过点F1作斜率为k的直线交椭圆E于两点A,B,AB的中点为M.设O为原点,射线
20.(本小题15分)
已知函数f(x)=2exsinx(0xπ),g(x)=(x?1)lnx+m(m∈R)
(Ⅰ)求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)求证:1是g(x)的唯一极小值点;
(Ⅲ)若存在a,b∈(0,π),满足f(a)=g(b),求
21.(本小题15分)
若数列A:a1,a2,…,an(n≥3)中ai∈N?(1≤i≤n)且对任意的2≤k≤n?1,ak+1+ak?12ak恒成立,则称数列A为“U?数列”.
(1)若数列1,x,y,7为“U?数列”,写出所有可能的x、y;
(2)若“U?数列”A:a1,a2,…,an中,a1=1,an=2017,求n的最大值;
(3)设n0为给定的偶数,对所有可
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