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专题02中线四大模型在三角形中的应用(专项训练)
1.如图,△ABC中,AB=6,AC=4,D是BC的中点,AD的取值范围为.
【答案】1<AD<5
【解答】解:延长AD到E,使DE=AD,连接BE,
在△ACD与△EBD中,
,
∴△BDE≌△CDA(SAS),
∴BE=AC,
∵AB=6,AC=4,
∴2<AE<10,
∴1<AD<5.
故答案为1<AD<5.
2.如图,在△ABC中,点D在AB边上,AD=BD,∠BDC=45°,点E在BC边上,AE
交CD于点F,CE=EF,若S△FAC=4,则线段AD的长为.
【答案】2
【解答】解:延长CD到点G,使DG=CD,连接AG,过点H作AH⊥CG,垂足为H,
∵AD=BD,∠BDC=∠ADG,
∴△BDC≌△ADG(SAS),
∴∠G=∠BCD,
∵EF=EC,
∴∠BCD=∠EFC,
∴∠G=∠EFC,
∵∠EFC=∠AFG,
∴∠G=∠AFG,
∴AG=AF,
∵AH⊥FG,
∴HG=HF,
∴S△AHG=S△AHF,
∵S△ADG=S△BCD,S△BCD=S△ADC,
∴S△ADG=S△ADC,
∴S△AGH+S△ADH=S△ADF+S△AFC,
∴S△AFH+S△ADH=S△ADF+S△AFC,
∴S△ADH+S△ADF+S△ADH=S△ADF+S△AFC,
∴2S△ADH=S△AFC,
∵S△FAC=4,
∴S△ADH=2,
∵∠BDC=45°,
∴∠BDC=∠ADH=45°,
∴AH=DH,
∴AH•DH=2,
∴AH=2或AH=﹣2(舍去),
∴AD=AH=2,
故答案为2.
3.如图,在等腰直角三角形ABC中,∠ABC=90°,AB=BC=4,D是BC中点,∠CAD=∠
CBE,则AE=.
【答案】3
【解答】解:过点B作BF∥AC,交AD的延长线于点F,
∴∠CBF=∠C,∠DAC=∠F,
∵∠ABC=90°,AB=BC=4,
∴AC=AB=4,
∵D是BC中点,
∴BD=CDBC=2,
∴△ADC≌△FDB(AAS),
∴AC=BF=4,
∵∠CAD=∠CBE,
∴∠CBE=∠F,
∴△BCE∽△FBD,
∴=,
∴=,
∴CE=,
∴AE=AC﹣CE=3,
故答案为3.
4.【阅读理解】课外兴趣小组活动时,老师提出了如下问题:如图1,△ABC中,若AB=
8,AC=6,求BC边上的中线AD的取值范围.小明在组内经过合作交流,得到了如下
的解决方法:延长AD到点E,使DE=AD,请根据小明的方法思考
(1)由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是
A.SSSB.SASC.AASD.HL
(2)求得AD的取值范围是
A.6<AD<8B.6≤AD≤8C.1<AD<7D.1≤AD≤7
【方法感悟】
解题时,条件中若出现“中点”“中线”字样,可以考虑延长中线构造全等三角形,把
分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中.
【问题解决】
(3)如图2,已知CD=AB,∠BDA=∠BAD,AE是△ABD的中线,求证:∠C=∠
BAE.
【解答】(1)解:∵在△ADC和△EDB中,,
∴△
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