高考数学一轮总复习教学课件第三章　一元函数的导数及其应用第二课时　利用导数研究函数的零点.pptxVIP

第二课时利用导数研究函数的零点

提升·关键能力类分考点,落实四翼

考点一利用导数确定函数零点个数[例1]已知函数f(x)=x-alnx(a0).(1)求函数f(x)的单调区间;解:(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),由f(x)=x-alnx,可得f′(x)=1-.因为a0,所以由f′(x)0,可得xa;由f′(x)0,可得0xa,所以f(x)的单调递减区间为(0,a),单调递增区间为(a,+∞).

(2)求函数g(x)=x2-ax-f(x)的零点个数.令g′(x)=0,可得x=1或x=a,

当a1时,g(x)在(1,a)上单调递减,所以g(1)g(a),所以g(a)0,所以g(x)有1个零点;当a=1时,g(x)在(0,+∞)上单调递增,所以g(x)有1个零点;当0a1时,g(x)在(0,a)上单调递增,在(a,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,此时g(a)=a2-(a+1)a+alna=-a2-a+alna0,g(x)只有1个零点.综上所述,g(x)在(0,+∞)上只有1个零点.

利用函数性质研究函数的零点,主要是根据函数单调性、奇偶性、最值或极值的符号确定函数零点的个数,此类问题在求解过程中可以通过数形结合的方法确定函数存在零点的条件.

[针对训练](2024·安徽模拟)已知函数f(x)=ex+sinx-1.(1)判定函数f(x)在[-π,]上的零点个数;解:(1)由题意得f′(x)=ex+cosx,易得函数f′(x)单调递增,而f′(-π)=e-π-10,使f′(x0)=0,当x∈[-π,x0)时,f′(x)0;f′(x)0,而f(-π)=e-π-10,

所以函数f(x)在[-π,-]上无零点;f′(x)=ex+cosx0,所以函数f(x)在(-,]上单调递增,而f(0)=0,所以函数f(x)在上有1个零点.综上所述,函数f(x)在[-π,]上有1个零点.

(2)?x≥0,f(x)+mx≥0恒成立,求实数m的取值范围.解:(2)设g(x)=ex+sinx-1+mx(x≥0),则g(0)=0,g′(x)=ex+cosx+m,g′(0)=m+2.令h(x)=g′(x),则h′(x)=ex-sinx0,所以h(x),即g′(x)单调递增.若m≥-2,则有g′(x)≥g′(0)≥0,此时g(x)在[0,+∞)上单调递增,所以g(x)≥g(0)=0,符合题意.若m-2,则g′(0)0,在x0时,存在一个区间(0,x′)使得g′(x)0,与题意不符,故m-2不合题意.综上可知,实数m的取值范围是[-2,+∞).

考点二根据函数零点个数求参数取值范围[例2](2024·湖南长沙模拟)已知函数f(x)=alnx-2.(1)若a=2,求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程;解:(1)当a=2时,f(x)=2lnx-2,该函数的定义域为(0,+∞),f′(x)=,又f(1)=-2,f′(1)=1,因此,曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y+2=x-1,即x-y-3=0.

(2)若函数f(x)在(0,16]上有两个零点,求a的取值范围.解:(2)①当a≤0时,f′(x)=0,则f(x)在(0,+∞)上单调递减,不符合题意;②当a0时,由f(x)=alnx-2=0,可得,令g(x)=,其中x0,则直线y=与函数y=g(x)的图象在(0,16]内有两个交点,

令g′(x)=0,可得x=e216,列表如下,x(0,e2)e2(e2,16]g′(x)+0-g(x)↗极大值↘所以函数g(x)在区间(0,16]上的极大值为g(e2)=,且g(16)=ln2,作出g(x)的图象如图所示.由图可知,当ln2≤,

即ea≤时,直线y=与函数y=g(x)的图象在(0,16]内有两个交点,即f(x)在(0,16]上有两个零点,因此,实数a的取值范围是(e,].

含参数的函数零点个数,可转化为方程解的个数,若能分离参数,可将参数分离出来后,用x表示参数的函数,作出该函数的图象,根据图象特征求参数的取值范围.

[针对训练](2024·安徽芜湖模拟)已知函数f(x)=ax+(a-1)lnx+-2,a∈R.(1)讨论f(x)的单调性;解:(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),①若a≤0,则f′(x)0,f(x)在(0,+∞)上单调递减;

②若a0,则当x∈(0,)时,f′(x)0,f(x)单调递减,当x∈(,+∞)时,f′(x)0,f(x)单调递增.综上,当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上单调递减;当a0时,f(x)在(0,)上单调递减