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小学数学《包含与排除》练习题（含答案）

内容概述

同学们对这个题目可能很陌生，为了搞清楚什么是“包含与排除”，大家先一起回答两个问题：

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(1)如右图（1），两个面积都是4厘米的正方形摆在桌面上，

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它们遮盖住桌面的面积是8厘米吗？

(2)如右图（2），一个正方形每条边上有6个点，四条边上

一共有24个点吗？

聪明的同学马上就会发现：

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(1)两个正方形的面积和是8厘米，现在它们有一部分重叠了。因此盖住桌面的面积应当从两个正

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方形的面积和中减去重叠的这部分面积，所以盖住桌面的面积应少于8厘米。

(2)四个角上的点，每个点都在两条边上，因此被重复计算了，在求四条边上共有多少点时，应当减

去重复计算的点，所以共有6×4-4＝20(个)点。

这两个问题，在计算时，都采用了“去掉”重复的数值(面积或个数)的方法。当需要计数的两类事物

互相包含（有部分重复交叉）时，应把重复计数的部分排除掉。

在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算。我们用|A|表示有限集A的元素个数。求两

个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复

计算的元素个数，即减去交集的元素个数，

用式子可表示成：|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|，

我们称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理。

图示如右:A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，

记为：A∩B，即阴影面积。

包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A、B的并集A∪B的元素的个数，可分以下两步进行：

第一步：分别计算集合A、B的元素个数，然后加起来，即先求|A|+|B|（意思是把A、B的一切元素

都“包含”进来，加在一起）；

第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C=|A∩B|（意思是“排除”了重复计算的元素

个数）。

例题精讲

【例1】把长38厘米和53厘米的两根铁条焊接成一根铁条。已知焊接部分长4厘米，焊接后这根铁条

有多长？

【例2】某小学三年级四班，参加语文兴趣小组的有28人，参加数学兴趣小组的有29人，有12人两个

小组都参加。这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？

【例3】在前100个自然数中，能被2或3整除的数有多少个？

【例4】（第九届“迎春杯”决赛）有一些数字卡片，上面写的数都是3的倍数或4的倍数.其中3的倍

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数卡片占，4的倍数卡片占，12的倍数卡片有15张.那么，这些卡片一共有______.

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【例5】全班有46名同学，仅会打乒乓球的有18人，既会打乒乓球又会打羽毛球的有7人，既不会打

乒乓球又不会打羽毛球的有6人。问：仅会打羽毛球的有多少人？

【例6】某班共有46人，参加美术小组的有12人，参加音乐小组的有23人，有5人两个小组都参加了。

这个班既没参加美术小组也没参加音乐小组的有多少人？

【例7】（第二届小学迎春杯数学竞赛）有100位旅客，其中有10人既不懂英语又不懂俄语，有75人

懂英语，83人懂俄语。问既懂英语又懂俄语的有多少人？

【例8】（第二届“祖冲之杯”数学邀请赛）某校参加数学竞赛有120名男生，80名女生.参加语文竞赛

有120名女生，80名男生.已知该校总共有260名学生参加了竞赛，其中有75名男生两科竞赛都参加了，

那么只参加数学竞赛而没有参加语文竞赛的女生人数是____人.

【例9】三年级科技活动组共有63人。在一次剪贴汽车模型和装配飞机模型的定时科技活动比赛中，老

师到时清点发现：剪贴好一辆汽车模型的同学有42人，装配好一架飞机模型的同学有34人。每个同学都

至少完成了一项活动。问：同时完成这两项活动的同