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弹性力学基础：胡克定律：应力与应变的概念

1弹性力学概述

1.1弹性力学的研究对象

弹性力学主要研究在力的作用下，固体材料如何发生变形以及如何恢复原

状的科学。它关注的是材料在弹性范围内，即材料能够恢复其原始形状和尺寸

的范围内，如何响应外力。弹性力学的研究对象广泛，包括但不限于：

结构件：桥梁、建筑物、飞机机翼等。

机械零件：齿轮、轴承、弹簧等。

日常用品：橡皮筋、床垫、眼镜架等。

这些研究对象在设计和制造过程中，需要考虑其在不同载荷下的行为，以

确保安全性和功能性。

1.2弹性力学的基本假设

为了简化分析和计算，弹性力学中通常采用以下基本假设：

1.连续性假设：认为材料在微观上是连续的，没有空隙或裂纹，可

以应用连续函数描述其性质。

2.均匀性假设：假设材料的物理性质在所有位置上是相同的。

3.各向同性假设：认为材料在所有方向上具有相同的物理性质，适

用于大多数金属和塑料。

4.小变形假设：假设材料的变形相对于其原始尺寸是微小的，这样

可以简化几何和物理方程。

5.线性弹性假设：在弹性范围内，应力与应变成线性关系，遵循胡

克定律。

这些假设使得弹性力学问题的数学模型更加简化，便于分析和求解。

虽然本教程没有涉及到具体的代码示例，但在工程分析软件如ANSYS、

ABAQUS中，弹性力学问题的求解通常涉及到有限元分析，其中会使用到上述

假设。例如，在ABAQUS中定义材料属性时，需要指定材料是否为各向同性，

以及其弹性模量和泊松比等参数，这些都是基于弹性力学的基本假设进行的。

接下来，我们深入探讨胡克定律以及应力与应变的概念，但请注意，这部

分内容不在当前目录标题要求的输出范围内。如果您需要了解这部分内容，可

以单独提出请求。

1

2胡克定律详解

2.1胡克定律的历史背景

胡克定律是由英国科学家罗伯特·胡克在1678年提出的，最初是在研究弹

簧的弹性行为时发现的。胡克观察到，弹簧的伸长量与施加在它上面的力成正

比，只要这个力不超过弹簧的弹性极限。这一发现后来被广泛应用于固体材料

的弹性研究中，成为弹性力学的基础之一。

2.2胡克定律的数学表达

胡克定律可以用数学公式来表达，适用于一维的拉伸或压缩情况。公式如

下：

=

其中：-表示应力，单位是帕斯卡（Pa），定义为单位面积上的力。-表

示应变，是一个无量纲的量，定义为材料的形变程度，即形变后的长度与原始

长度的比值减去1。-是弹性模量，也称为杨氏模量，单位是帕斯卡（Pa），

它是一个材料属性，表示材料抵抗形变的能力。

2.2.1示例计算

假设我们有一根钢丝，原始长度为1米，当受到100牛顿的力时，其长度

2×1011

增加了0.001米。已知钢的弹性模量大约为200GPa（Pa）。我们可以

计算钢丝的应力和应变。

应力的计算：

=

其中是施加的力，是钢丝的横截面积。假设钢丝的直径为1毫米，即

2

1−3

×10

=平方米。

2