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弹性力学基础：兼容方程：弹性力学中的变分法

1弹性力学基础：兼容方程：弹性力学中的变分法

1.1绪论

1.1.1弹性力学概述

弹性力学是固体力学的一个分支，主要研究弹性体在外力作用下的变形和

应力分布。它基于连续介质力学的基本假设，将物体视为由无限多个微小质点

组成的连续体，通过建立和求解偏微分方程来描述物体的力学行为。弹性力学

的应用广泛，从工程结构设计到材料科学，从地震预测到生物力学，都是其研

究领域。

1.1.2变分法在力学中的应用

变分法是数学物理中的一种重要工具，用于寻找函数或函数集的极值问题。

在弹性力学中，变分法常用于求解能量泛函的极小值问题，从而得到物体的平

衡状态。例如，最小势能原理是弹性力学中应用变分法的一个典型例子，它指

出在静力平衡条件下，弹性体的总势能取最小值。

1.1.3兼容方程的重要性

兼容方程描述了物体变形的连续性，即物体在变形过程中，各点的位移必

须满足一定的连续性条件，以保证变形的合理性。在弹性力学中，兼容方程与

平衡方程、边界条件一起构成了求解弹性问题的完整方程组。没有兼容方程，

即使求得了应力分布，也无法保证位移的连续性，从而可能得到不合理的解。

1.2弹性力学中的变分法

1.2.1最小势能原理

最小势能原理是弹性力学中应用变分法的一个核心原理。考虑一个弹性体

在静力平衡条件下，其总势能由弹性势能和外力势能组成：

​​​

=−⋅−⋅

其中，是应变能密度，是体积力，是表面力，是位移。最小势能原理

指出，当弹性体处于平衡状态时，总势能取最小值。

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1.2.2变分法求解步骤

1.建立能量泛函：根据最小势能原理，建立包含弹性势能和外力势

能的能量泛函。

2.求变分：对能量泛函进行变分，得到变分方程。

3.应用兼容方程：将兼容方程代入变分方程，确保位移的连续性。

4.求解变分方程：通过数值方法或解析方法求解变分方程，得到位

移场。

5.计算应力和应变：根据位移场，利用应力应变关系计算应力和应

变分布。

1.2.3示例：一维弹性杆的最小势能原理

假设有一根一维弹性杆，长度为，截面积为，弹性模量为，受到两端

的轴向力的作用。杆的位移函数为，其中杆的坐标。根据最小势能原

理，能量泛函可以表示为：

12

=−

2

0

2

其中，′表示位移函数的导数的平方。求变分得到：

=−=0

0

应用兼容方程（即位移函数的连续性），并求解上述变分方程，可以得到位

移函数的解析解。

1.3兼容方程

1.3.1兼容方程的数学表达

兼容方程是描述位移连续性的方程，它确保了物体在变形过程中，各点的

位移满足一定的连续性条件。在三维弹性力学中，兼容方程可以表示为：

1∂∂