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弹性力学基础：内力计算：应变能与卡氏第二定理

1弹性力学概述

1.1弹性力学的基本概念

弹性力学是固体力学的一个分支，主要研究弹性体在外力作用下的变形和

应力分布。它基于连续介质力学的基本假设，即材料可以被视为连续的、无间

隙的介质，其内部的物理性质是连续变化的。弹性力学的核心在于理解和预测

材料在不同载荷条件下的行为，这对于工程设计和材料科学至关重要。

1.1.1弹性体

弹性体是指在外力作用下能够发生变形，当外力去除后，能够恢复到原来

形状的物体。这种恢复原状的能力是由于材料内部的弹性力，它试图使物体回

到其自然状态。

1.1.2应力与应变

应力（Stress）：单位面积上的内力，通常用符号σ表示。在弹性

力学中，应力可以分为正应力（σ）和切应力（τ）。

应变（Strain）：物体在外力作用下发生的变形程度，通常用符号

ε表示。应变也有正应变和切应变之分。

1.1.3弹性模量

弹性模量是描述材料弹性性质的重要参数，包括：-杨氏模量（Young’s

Modulus）：描述材料在拉伸或压缩时的弹性性质，定义为正应力与正应变的比

值。-剪切模量（ShearModulus）：描述材料在剪切作用下的弹性性质，定义为

切应力与切应变的比值。-泊松比（Poisson’sRatio）：描述材料在横向和纵向

变形之间的关系，定义为横向应变与纵向应变的绝对值比。

1.2材料的弹性性质

材料的弹性性质可以通过实验测定，其中最常见的是拉伸试验。在拉伸试

验中，材料样品被拉伸，同时测量其长度变化和所施加的力。通过这些数据，

可以绘制出应力-应变曲线，从而确定材料的弹性模量和泊松比。

1.2.1应力-应变曲线

应力-应变曲线是描述材料在受力时应力与应变之间关系的图形。曲线的初

1

始直线段表示材料的弹性范围，在此范围内，应力与应变成正比，遵循胡克定

律。曲线的斜率即为材料的杨氏模量。

1.2.2胡克定律

胡克定律是弹性力学中的基本定律，它指出，在弹性范围内，应力与应变

成正比，即：

⋅

=

其中，σ是应力，ε是应变，E是杨氏模量。

1.2.3弹性极限与塑性变形

弹性极限：材料在弹性范围内所能承受的最大应力。超过弹性极

限，材料将发生塑性变形，即变形不再完全可逆。

塑性变形：当应力超过弹性极限时，材料发生的不可逆变形。这

种变形会导致材料的永久性形状改变。

1.2.4弹性常数

在多轴应力状态下，需要使用更复杂的弹性常数来描述材料的弹性行为，

如弹性矩阵。弹性矩阵包含了材料在不同方向上的弹性模量和泊松比，用于计

算多轴应力状态下的应变。

1.2.5实例：计算材料的杨氏模量

假设在一次拉伸试验中，一个直径为10mm、长度为100mm的圆柱形材料

样品在受到1000N的拉力时，长度增加了0.5mm。我们可以使用以下公式计算

杨氏模量：

/

==

/

其中，F是施加的力，A是样品的横截面积，ΔL是长度变化，L是样品的

原始长度。

#计算杨氏模量的Python代码示例

#定义变量

F=1000#施加的力，单位：牛顿

d=10#直径，单位：毫米

L=100#长度，单位：毫米

delta_L=0.5#长度变化，单位：毫米

#计算横截面积

A=(d/2)**2*3.14159

#计算应变

epsilon=delta_L/L

2

#计算应力

sigma=F/A

#计算杨氏模量

E=sigma/epsilon

#输出结果

pr