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弹性力学基础：平衡方程：弹性力学引论

1弹性力学基础：绪论

1.1弹性力学的研究对象与范围

弹性力学是固体力学的一个分支，主要研究在各种外力作用下，弹性体的

变形、应力分布以及位移情况。其研究对象广泛，包括但不限于：

工程结构：桥梁、建筑物、飞机、船舶等。

机械零件：齿轮、轴承、弹簧等。

日常用品：橡皮筋、床垫、运动鞋底等。

弹性力学的范围涵盖了从宏观到微观的尺度，从线性到非线性的材料行为，

以及从静态到动态的加载条件。在工程设计中，弹性力学的理论和方法被用来

确保结构的安全性和可靠性，避免过大的变形和应力集中，从而延长使用寿命。

1.2基本假设与概念

1.2.1基本假设

弹性力学的分析基于一系列基本假设，这些假设简化了实际问题，使其数

学模型化成为可能：

1.连续性假设：认为材料在任何尺度上都是连续的，没有空隙或裂

纹。

2.完全弹性假设：材料在去除外力后能够完全恢复到原始状态，没

有塑性变形。

3.小变形假设：变形相对于原始尺寸很小，可以忽略变形对几何形

状的影响。

4.各向同性假设：材料在所有方向上具有相同的物理性质。

5.均匀性假设：材料的物理性质在空间上是均匀的。

1.2.2基本概念

应力：单位面积上的内力，分为正应力（σ）和剪应力（τ）。

应变：材料变形的程度，分为线应变（ε）和剪应变（γ）。

位移：物体中各点相对于原始位置的移动。

平衡方程：描述在静力条件下，物体内部应力分布必须满足的数

学方程。

边界条件：在物体边界上应力或位移的约束条件。

本构关系：描述应力与应变之间关系的方程，对于弹性材料，通

常遵循胡克定律。

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1.2.3胡克定律示例

胡克定律是弹性力学中的一个基本关系，它描述了线性弹性材料的应力与

应变之间的线性关系。对于一维情况，胡克定律可以表示为：

σ=E*ε

其中，σ是正应力，ε是线应变，E是材料的弹性模量，一个反映材料刚

性的物理量。

1.2.3.1示例代码

假设我们有一根弹性材料的杆，长度为1米，截面积为0.01平方米，当受

到1000牛顿的拉力时，我们可以通过胡克定律计算杆的伸长量。

#定义材料的弹性模量（单位：帕斯卡）

E=2e11#对于钢，弹性模量大约为200GPa

#定义杆的原始长度（单位：米）

L=1

#定义杆的截面积（单位：平方米）

A=0.01

#定义外力（单位：牛顿）

F=1000

#计算正应力

sigma=F/A

#计算线应变

epsilon=sigma/E

#计算杆的伸长量（单位：米）

delta_L=epsilon*L

print(杆的伸长量为：,delta_L,米)

1.2.3.2解释

在这个示例中，我们首先定义了材料的弹性模量E，杆的原始长度L，截面

积A，以及外力F。然后，我们使用外力和截面积计算了正应力σ，接着使用正

应力和弹性模量计算了线应变ε。最后，我们通过线应变和原始长度计算了杆

的伸长量δL。这个计算过程展示了胡克定律在实际工程问题中的应用。

通过上述内容，我们对弹性力学的基础概念和假设有了初步的了解，这些

是进一步深入学习弹性力学理论和应用的基础。

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2弹性力学基本方程

2.1subdir2.1:应力与应变的定义

在弹性力学中，应力（Stress）和应变（Strain）是两个核心概念，它们描

述了材料在受力作用下的响应。

2.1.1应力

应力定义为单位面积上的内力，通常用符号σ表示。在三维空间中，应力

可以分为正应力σ和剪应力τ。正应力是垂直于材料表面的应力，而剪应力则

是平行于材料表面的应力。应力张量是一个3x3的矩阵，它完全描述了任意点

处的应力状态：