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弹性力学基础：平衡方程：平衡方程的推导与应用

1弹性力学基础：平衡方程的推导与应用

1.1绪论

1.1.1弹性力学的基本概念

弹性力学是固体力学的一个分支，主要研究弹性体在外力作用下的变形和

应力分布。弹性体是指在外力作用下能够产生变形，当外力去除后，能够恢复

到原来形状的物体。在弹性力学中，我们关注的是物体内部的应力（单位面积

上的内力）和应变（物体的变形程度），以及它们与外力之间的关系。

应力：应力是描述物体内部各点受力状态的物理量，分为正应力

（σ）和切应力（τ）。正应力是垂直于截面的应力，切应力是平行于截

面的应力。

应变：应变是描述物体变形程度的物理量，分为线应变（ε）和

切应变（γ）。线应变是物体长度的相对变化，切应变是物体角度的相对

变化。

1.1.2平衡方程的重要性

平衡方程是弹性力学中的核心方程之一，它描述了在静力学平衡条件下，

物体内部应力的分布规律。平衡方程的建立基于牛顿第二定律，即物体内部任

意微小体积的加速度与作用在该体积上的力成正比。在弹性力学中，平衡方程

通常表示为：

∂∂∂

+++=0

∂∂∂

∂∂∂

+++=0

∂∂∂

∂∂∂

+++=0

∂∂∂

其中，,,是正应力，,,是切应力，是物体的密度，,,

是物体内部的体积力（如重力）在三个坐标轴方向上的分量。

平衡方程的重要性在于，它们是求解弹性体内部应力分布的基础，对于设

计和分析结构的强度、刚度和稳定性至关重要。通过求解平衡方程，可以确保

结构在承受外力时，内部应力分布合理，避免局部应力过高导致结构破坏。

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1.2平衡方程的推导

平衡方程的推导基于静力学平衡原理，即物体内部任意微小体积在所有方

向上的力的合力为零。考虑一个微小的六面体体积，其边长分别为,,，

在个方向上的应力分别为,,，切应力分别为,,。体积力

在三个方向上的分量为,,。

1.2.1方向的平衡方程

在方向上，考虑六面体体积的左侧和右侧，左侧的应力为，右侧的应力

∂

+

为。因此，方向上的力的平衡可以表示为：

∂

∂

−++=0