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弹性力学基础：平衡方程与有限元方法

1弹性力学基础：平衡方程：弹性力学的有限元方法

1.1绪论

1.1.1弹性力学的基本概念

弹性力学是固体力学的一个分支，主要研究弹性体在外力作用下的变形和

应力分布。在弹性力学中，我们关注的是材料在弹性范围内，即材料的变形与

外力成线性关系的区域。弹性力学的基本概念包括：

应力（Stress）：单位面积上的内力，通常用张量表示，分为正应

力和剪应力。

应变（Strain）：材料在外力作用下的变形程度，也用张量表示，

分为线应变和剪应变。

弹性模量（ElasticModulus）：描述材料弹性性质的物理量，包括

杨氏模量、剪切模量和泊松比。

平衡方程（EquilibriumEquations）：描述弹性体在静力平衡状态下

的方程，确保作用在体内的所有力和力矩平衡。

边界条件（BoundaryConditions）：在弹性体边界上施加的约束，

包括位移边界条件和应力边界条件。

1.1.2有限元方法的简介

有限元方法（FiniteElementMethod,FEM）是一种数值求解偏微分方程的

工具，广泛应用于工程和科学领域，包括弹性力学。它将复杂的连续体结构分

解成有限数量的简单单元，每个单元用一组节点来表示。在每个单元内，位移、

应力和应变被近似为节点值的函数。这种方法允许我们处理具有复杂几何形状

和边界条件的问题。

1.1.2.1原理

有限元方法的基本步骤包括：

1.离散化：将连续体结构划分为有限数量的单元。

2.选择位移模式：在每个单元内，用多项式或其它函数来近似位移。

3.建立单元方程：基于弹性力学的基本原理，如胡克定律和平衡方

程，建立每个单元的方程。

4.组装整体方程：将所有单元方程组合成一个整体的方程组。

5.施加边界条件：在整体方程中考虑边界条件。

6.求解方程组：使用数值方法求解整体方程组，得到节点位移。

7.后处理：从节点位移计算应力和应变，可视化结果。

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1.1.2.2代码示例

下面是一个使用Python和numpy库的简单有限元分析代码示例，用于求

解一维弹性杆的平衡方程。假设我们有一个长度为1米的弹性杆，两端固定，

中间受到1000N的力。

importnumpyasnp

#材料属性

E=200e9#弹性模量，单位：Pa

A=0.001#截面积，单位：m^2

#几何参数

L=1.0#杆的长度，单位：m

n=10#单元数量

#外力

F=1000#单位：N

#单元长度

l=L/n

#单元刚度矩阵

k=(E*A)/l

#整体刚度矩阵

K=np.zeros((n+1,n+1))

foriinrange(n):

K[i:i+2,i:i+2]+=np.array([[1,-1],[-1,1]])*k

#边界条件

K[0,:]=0

K[-1,:]=0

K[:,0]=0

K[:,-1]=0

K[0,0]=1

K[-1,-1]=1

#载荷向量

F_vec=np.zeros(n+1)

F_vec[n//2]=F

#求解位移

U=np.linalg.solve(K,F_vec)

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#计算应力

sigma=(E/l)*(U[1:]-U[:-1])

#输出结果

print(节点位移：,U)

print(单元应力：,sigma)

1.1.2.3解释

1.定义材料属性：弹性模量E和截面积A。

2.定义几何参数：杆的长度L和单元数量n。

3.定义外力：作用在杆上的力F。

4.计算单元长度：l。

5.建立单