弹性力学基础：应变：弹性力学中的坐标变换.pdf

弹性力学基础：应变：弹性力学中的坐标变换

1弹性力学基础：应变：弹性力学中的坐标变换

1.1绪论

1.1.1弹性力学与应变的基本概念

在工程和物理学中，弹性力学是研究物体在外力作用下变形和应力分布的

学科。它主要关注材料在弹性范围内，即材料能够恢复原状的变形。应变是描

述物体变形程度的物理量，通常定义为物体变形前后长度变化与原始长度的比

值。在三维空间中，应变不仅包括线应变（描述长度变化），还包括剪切应变

（描述角度变化）。

线应变（）：定义为=，其中是长度变化量，是原始长度。

0

0

=tan

剪切应变（）：定义为，其中是两相互垂直的线段在

变形前后角度的变化。

1.1.2坐标变换的重要性

在弹性力学中，坐标变换是理解材料在不同方向上应力和应变分布的关键。

实际工程问题中，物体的受力和变形往往不是沿着某一固定坐标系的轴向，而

是以更复杂的方式分布。通过坐标变换，我们可以将这些复杂分布转换到一个

更简单的坐标系中进行分析，从而简化问题的求解。

例如，考虑一个在斜向受力的平板，我们可以通过坐标变换将斜向的应力

和应变转换为沿平板表面和垂直于表面的应力和应变，这样就可以利用平面应

力和平面应变的理论来分析问题。

1.1.2.1示例：坐标变换在应变分析中的应用

假设我们有一个物体，其在直角坐标系中的应变张量为：

我们想要将其转换到一个新的坐标系′,′中，其中′,′坐标系与,

坐标系之间的角度为。应变张量在新坐标系中的表达式可以通过以下公式计算：

′′22

cossinoscossinos

=

22

′′′′sinossinsinossin

22

sin−sinossin−sinos

+

22

−sinoscos−sinoscos

这个公式包含了两个部分：第一部分是将,坐标系中的应变张量转换到

,坐标系中，第二部分是计算剪切应变的转换。

1

1.1.2.2代码示例

下面是一个使用Python和NumPy库进行坐标变换的示例代码：

importn