弹性力学基础：应力：材料的弹性模量与泊松比.pdf

弹性力学基础：应力：材料的弹性模量与泊松比

1弹性力学概述

1.1弹性力学的基本概念

弹性力学是固体力学的一个分支，主要研究弹性体在外力作用下的变形和

应力分布。它基于连续介质力学的基本假设，将物体视为由无数连续分布的微

小质点组成，这些质点之间通过内力相互作用。弹性力学的核心在于理解和预

测材料在不同载荷下的响应，包括变形、应力和应变。

1.1.1弹性体与非弹性体

弹性体：在外力作用下发生变形，当外力去除后，能够恢复到原

始形状的物体。

非弹性体：在外力作用下发生变形，但当外力去除后，不能完全

恢复到原始形状的物体。

1.1.2应力与应变

应力（Stress）：单位面积上的内力，通常用符号σ表示。应力可

以分为正应力（σ）和切应力（τ）。

应变（Strain）：物体在外力作用下发生的变形程度，通常用符号

ε表示。应变分为线应变和剪应变。

1.2材料的弹性行为

材料的弹性行为可以通过其在受力时的应力-应变关系来描述。这种关系在

小变形情况下通常遵循胡克定律。

1.2.1胡克定律

胡克定律（Hooke’sLaw）是描述材料弹性行为的基本定律，它指出，在

弹性极限内，应力与应变成正比，比例常数称为弹性模量。

1.2.1.1弹性模量

杨氏模量（Young’sModulus,E）：描述材料抵抗拉伸或压缩变形

的能力。

剪切模量（ShearModulus,G）：描述材料抵抗剪切变形的能力。

体积模量（BulkModulus,K）：描述材料抵抗体积变化的能力。

1

1.2.1.2泊松比

泊松比（Poisson’sRatio,ν）：当材料在垂直于其长度方向上受

到拉伸或压缩时，横向应变与纵向应变的绝对值之比。

1.2.2应力-应变曲线

应力-应变曲线是描述材料在受力时的变形行为的重要工具。曲线的不同阶

段反映了材料从弹性到塑性变形的过渡。

1.2.2.1弹性阶段

在弹性阶段，应力与应变呈线性关系，遵循胡克定律。此阶段的斜率即为

材料的弹性模量。

1.2.2.2屈服点

屈服点是材料开始发生塑性变形的点，超过此点，材料将不能完全恢复到

原始状态。

1.2.2.3强化阶段

在强化阶段，材料继续变形，但需要更大的应力。这反映了材料内部结构

的重新排列。

1.2.2.4断裂点

断裂点是材料承受应力达到极限，发生断裂的点。

1.2.3示例：计算材料的杨氏模量

假设我们有一根材料样品，长度为1米，截面积为0.01平方米。当施加

1000牛顿的力时，样品的长度增加了0.001米。我们可以使用以下公式计算杨

氏模量：

/

==

/

其中：-是施加的力（牛顿）。-是截面积（平方米）。-是长度的增

加量（米）。-是原始长度（米）。

1.2.3.1数据样例

施加的力=1000N

截面积=0.01m²

2

长度的增加量=0.001m

原始长度=1m

1.2.3.2代码示例

#定义变量

F=1000#施加的力，单位：牛顿

A=0.01#截面积，单位：平方米

delta_L=0.001#长度的增加量，单位：米

L=1#原始长度，单位：米

#计算应变

epsilon=delta_L/L

#计算应力

sigma=F/A

#计算杨氏模量

E=sig