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医学实验的数学建模

第一节数学模型及建模

数学模型有着与数学同样悠久的历史。进入20世纪以来，随着计算技术的

飞速发展，数学以空前的广度和深度向各个领域渗透，数学模型及建模得到了人

们越来越多的关注。

一、数学模型的概念

概括而言，数学模型是数学理论与实际问题相结合的一门科学。它将现实问

题归结为相应的数学问题，从定性特别是定量的角度来描述实际问题，并在此基

础上利用数学的概念、方法和理论对其进行深入的分析和研究，为解决现实问题

提供精确的数据或可靠的指导。

简单地说，数学模型就是对实际问题的一种数学表述，即用数学表达（如函

数、图形、方程等）来描述（表述、模拟）所研究的客观对象或系统在某一方面

（某种特征）的存在或变化规律。

针对实际问题建立数学模型的过程就称之为数学建模（modeling）。由于实

际问题的复杂性，通常在建模过程中必须进行一些必要的简化和假设，并通过将

问题抽象化、引进变量表示等处理过程，将实际问题用数学方式表达，然后运用

先进的数学方法及计算机技术对得到的表达进行求解或模拟。

通过建立数学模型的方法研究客观世界是人类认识自然的一个基本方法。利

用所建立的模型，可以在一定程度上解释特定现象目前的状态及表现，预测对象

的未来发展及变化，提供处理对象的优化决策和控制，设计满足某种需要的产品

等。当然，上述应用的准确程度完全依赖于所建数学模型对该问题描述的准确性。

可以说，要想用数学方法解决实际中的问题，就必须建立数学模型。从这个意义

上讲，数学建模和数学具有同样古老的发展及应用历史。两千多年以前创立的欧

几里得几何，17世纪发现的牛顿万有引力定律，1953年建立的DNA超螺旋结构

分子模型等，都是科学发史上数学建模的成功范例。

数学的定量化表达特性使得它特别适于阐述各种现象或问题的机制及本质。

随着不同领域包括对定量化需求的日益增强，以及计算机技术及设备的快速发展

及应用，除工程技术领域外，数学模型在其他领域也越来越受到人们的重视，建

模成为科学研究不可缺少的工具。

随着数学思维及方法不断向医药学领域的渗透，数学建模在医学及实验中的

地位也越来越重要。

下面就以一个简单的例子，说明在医学实验的分析中如何应用模型。

例7-1：对30～80岁妇女正常收缩压Y(mmHg)与年龄X(岁)的统计结果如

表7-1所示。希望通过分析该结果，得到该年龄段妇女正常收缩压与年龄的关系。

表7-130～80正常岁妇女正常收缩压与年龄的分布

年龄Y(years)3040506070

80

收缩压X(mmHg)106120135150162

176

求解：通过建立简单的数学模型，可以得到上述关系的直接数学表达式。从

统计数据的分布（如图7-1散点所示）可以看出两者间的关系近似线性分布。若

假设其为线性分布，则可利用最小二乘法得到一条回归直线，描述该年龄段妇女

正常收缩压与年龄间的关系，如图7-1直线所示。得到的直线方程为：

Y=1.40X+64.34，利用该直线，我们可以计算出该年龄段任一年龄对应的正常收

缩压值。

图7-130～80岁妇女年龄-收缩压分布及其线性回归

二、数学模型的类型及特点

由于数学模型在各领域应用的广泛性，涉及的模型种类是多种多样的。如果

按照研究对象的实际应用领域分，则包括人口模型、交通模型、环境模型、生理

模型、经济模型、社会模型等。如果按研究方法和对象的数学特征来分，则可分

为初等模型、几何模型、优化模型、微分方程模型、稳定性模型、统计模型等，

示例7-1就属于初等的统计模型。另外，根据研究对象的规模及模型的表现特性，

模型还可分为近似和有限、微观和宏观、描述和说明、离散（discrete）和连续

（continuous）、时变（time-variant）和时不变（time-invariant）、静态（static）和

动态（dynamic）、集中（lumpe