弹性力学数值方法：边界元法(BEM)：弹性体边界条件分析.pdf

弹性力学数值方法：边界元法(BEM)：弹性体边界条件分析

1弹性力学与数值方法简介

在工程和物理学中，弹性力学是研究物体在外力作用下变形和应力分布的

学科。它主要关注弹性材料的力学行为，这些材料在外力去除后能够恢复其原

始形状。数值方法则是解决复杂弹性力学问题的有效工具，通过将连续问题离

散化，转化为计算机可以处理的数学模型。

边界元法（BoundaryElementMethod,BEM）是一种数值方法，特别适用于

解决边界条件复杂的问题。与有限元法（FEM）相比，BEM只需要在物体的边

界上进行计算，这在处理无限域或半无限域问题时具有显著优势。

1.1弹性力学中的基本方程

弹性力学的基本方程包括平衡方程、本构方程和几何方程。在三维情况下，

平衡方程可以表示为：

⋅

∇+=

其中，是应力张量，是体力向量。

本构方程描述了应力和应变之间的关系，对于线性弹性材料，可以使用胡

克定律表示：

=:

其中，是弹性系数张量，是应变张量。

几何方程则将应变与位移联系起来：

1

=∇+∇

2

其中，是位移向量。

1.2BEM的数学基础

BEM基于格林定理和弹性体的位移解表示。格林定理允许我们将体积积分

转化为表面积分，这对于减少问题的维数非常有用。在弹性力学中，位移解表

示为：

​

=⋅−⋅′

其中，和分别是弹性体的应力和位移格林函数，是边界上的面力向

量。

1.2.1示例：使用BEM求解二维弹性问题

假设我们有一个二维弹性体，边界上施加了面力。我们可以使用BEM来求

解位移场。首先，定义边界上的节点和单元，然后计算格林函数和面力向量。

最后，通过求解边界上的积分方程来得到位移。

1

importnumpyasnp

fromscipy.integrateimportquad

#定义格林函数

defK(x,x_prime):

#这里省略了具体的格林函数计算，因为它是基于弹性体的性质和几何形状的

returnnp.array([[1,0],[0,1]])#假设的简化格林函数

defG(x,x_prime):

#同上，这里使用简化格林函数

returnnp.array([[1,0],[0,1]])

#定义边界上的面力向量

deft(x_prime):

假设边界上沿方向施加了单位面力

returnnp.array([1,0])#x

#定义边界上的位移向量

defu(x_prime):

returnnp.array([0,0])#初始假设边界上没有位移

#定义边界积分方程

defboundary_integral_equation(x):

#这里使用数值积分来近似边界积分

integral_K_t=quad(lambdax_prime:np.dot(K(x,x_prime),t(x_prime)),0,1)

integral_G_u=quad(lambdax_prime:np.dot(G(x,x_prime),u(x_prime)),0,1)

returnintegral_K_t[0]-integral_G_