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弹性力学数值方法：变分法：弹性力学数值模拟

1弹性力学数值方法：变分法在弹性力学中的应用与数值模

拟

1.1弹性力学概述

弹性力学是固体力学的一个分支，主要研究弹性体在外力作用下的变形和

应力分布。它基于连续介质力学的基本假设，使用数学模型来描述材料的弹性

行为。在工程应用中，弹性力学的分析对于结构设计、材料选择和安全评估至

关重要。

1.1.1基本方程

弹性力学的基本方程包括平衡方程、几何方程和物理方程。平衡方程描述

了应力与外力之间的关系，几何方程连接了位移与应变，而物理方程则给出了

应变与应力之间的联系，通常通过胡克定律表达。

1.2变分法在弹性力学中的应用

变分法是求解弹性力学问题的一种有效方法，它基于能量原理，通过最小

化总势能或总余能来求解位移或应力。这种方法在处理复杂边界条件和非线性

问题时特别有用。

1.2.1能量原理

在弹性力学中，总势能由内部势能和外部势能组成，即=。内

部势能是由于材料内部的应力和应变产生的能量，而外部势能则是外力对材

料做功的能量。变分法的目标是找到使总势能最小的位移场。

1.2.2变分问题

变分法求解弹性力学问题通常涉及求解以下变分问题：

=−=0

其中，表示变分操作。通过求解这个变分问题，可以得到满足最小势能原

理的位移场。

1.2.3示例：一维弹性杆的变分法求解

假设有一根长度为的一维弹性杆，两端分别固定在=0和=。杆受到

均匀分布的外力作用。使用变分法求解杆的位移。

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内部势能

内部势能可以表示为：

12

=

2

0

其中，是弹性模量，是横截面积。

外部势能

外部势能可以表示为：

=

0

总势能

总势能为：

12

=−=−

2

00

变分求解

对总势能进行变分求解，得到：

2

=2−=0