弹性力学数值方法：迭代法：预条件技术在弹性力学迭代法中的应用.pdf

弹性力学数值方法：迭代法：预条件技术在弹性力学迭代

法中的应用

1弹性力学基础

1.1弹性力学基本概念

在弹性力学中，我们研究的是物体在外力作用下如何发生变形，以及这种

变形如何影响物体的内部应力和应变。弹性力学的基本概念包括：

应力（Stress）：单位面积上的内力，通常用张量表示，分为正应

力和剪应力。

应变（Strain）：物体变形的程度，也是用张量表示，分为线应变

和剪应变。

弹性模量（ElasticModulus）：描述材料弹性性质的物理量，包括

杨氏模量、剪切模量和泊松比。

1.1.1示例

假设一个长方体材料，其长、宽、高分别为10cm、5cm、2cm，受到一个

垂直于其上表面的力F=100N。如果材料的杨氏模量E=200GPa，泊松比ν=0.3，

我们可以计算材料的正应力和线应变。

100

===10

×

52

10

===5×10−5

200

1.2弹性方程与边界条件

弹性方程描述了应力、应变和位移之间的关系，通常包括平衡方程、本构

方程和几何方程。边界条件则指定了物体在边界上的位移或应力状态，分为：

位移边界条件（DisplacementBoundaryConditions）：指定物体在

边界上的位移。

应力边界条件（StressBoundaryConditions）：指定物体在边界上

的应力。

1.2.1示例

考虑一个简单的弹性问题，一个两端固定的杆受到轴向拉力。设杆的长度

为L，截面积为A，轴向拉力为F，材料的杨氏模量为E。平衡方程可以简化为：

=0

1

位移边界条件为：

0==0

应力边界条件为：

0==

1.3弹性问题的离散化方法

离散化方法是将连续的弹性问题转化为离散的数学问题，以便于数值求解。

常见的离散化方法包括：

有限元法（FiniteElementMethod，FEM）：将结构划分为有限数

量的单元，每个单元用简单的函数来近似其位移和应力。

边界元法（BoundaryElementMethod，BEM）：仅在结构的边界

上进行离散化，适用于边界条件复杂的问题。

有限差分法（FiniteDifferenceMethod，FDM）：将连续的微分方

程用差分方程来近似，适用于简单几何形状的问题。

1.3.1示例

使用有限元法求解一个简单的平面应力问题。假设有一个矩形板，其长、

宽分别为10cm、5cm，受到均匀分布的面力q=100N/m^2。板的材料属性为

E=200GPa，ν=0.3。我们首先将板划分为若干个三角形单元，然后在每个单元

内用线性函数来近似位移。

importnumpyasnp

fromscipy.sparseimportlil_matrix

fromscipy.sparse.linalgimportspsolve