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弹性力学数值方法：积分法：弹性力学中的积分方程

1弹性力学与数值方法的简介

弹性力学是固体力学的一个分支，主要研究弹性体在外力作用下的变形和

应力分布。数值方法则是解决复杂工程问题的有效手段，通过将连续问题离散

化，转化为计算机可以处理的数学模型。在弹性力学中，数值方法的应用尤为

广泛，包括有限元法、边界元法、有限差分法等。

1.1弹性力学基础

弹性体：能够在外力作用下发生变形，当外力去除后，能够恢复

原状的物体。

应力：单位面积上的内力，包括正应力和切应力。

应变：物体在外力作用下的变形程度，包括线应变和剪应变。

胡克定律：在弹性限度内，应力与应变成正比。

1.2数值方法概览

数值方法通过将连续的弹性力学问题转化为离散的数学问题，利用计算机

进行求解。其中，积分法是一种重要的数值方法，它基于弹性力学中的积分方

程，通过积分运算来求解应力和位移。

2积分法在弹性力学中的应用概述

积分法在弹性力学中的应用主要基于格林函数和位移势函数，通过积分方

程来求解边界值问题。这种方法特别适用于解决具有复杂边界条件的问题，如

裂纹、孔洞等。

2.1格林函数

格林函数是弹性力学中用于求解位移和应力的关键工具。它描述了在弹性

体中某一点施加单位力时，整个弹性体的位移响应。格林函数满足弹性体的平

衡方程和边界条件，是构建积分方程的基础。

2.1.1示例：二维弹性体的格林函数

假设我们有一个无限大的二维弹性体，其弹性模量为，泊松比为。在点

施加单位力时，格林函数,描述了点,的位移响应。格林

函数满足以下方程：

−−

,;′,′+′′=0

其中，是拉普拉斯算子，是狄拉克δ函数。

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2.2位移势函数

位移势函数是另一种用于构建积分方程的工具。它将位移表示为势函数的

梯度，从而简化了求解过程。位移势函数通常用于解决无应力边界条件的问题。

2.2.1示例：位移势函数的构建

考虑一个二维弹性体，其位移,和,可以表示为位移势函数

和的梯度：

∂∂

,=+

∂∂

∂,∂,

=−

∂∂

位移势函数满足的方程取决于弹性体的几何形状和边界条件。

2.3积分方程的构建与求解

积分方程是通过格林函数或位移势函数，将弹性力学问题转化为积分形式

的方程。这种方法避免了直接求解偏微分方程的复杂性，特别是在处理具有复

杂边界条件的问题时。

2.3.1示例：构建积分方程

假设我们有一个二维弹性体，其边界上施加了已知的位移和

,。我们可以使用格林函数,;′,′构建以下积分方程：

​​

=,,′′+,,′