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弹性力学数值方法：解析法：弹性力学基础理论

1弹性力学基础

1.1应力与应变的概念

1.1.1应力

应力（Stress）是描述材料内部受力状态的物理量，定义为单位面积上的内

力。在弹性力学中，应力分为正应力（NormalStress）和切应力（ShearStress）。

正应力是垂直于材料截面的应力，而切应力则是平行于材料截面的应力。

1.1.2应变

应变（Strain）是描述材料形变程度的物理量，分为线应变（LinearStrain）

和切应变（ShearStrain）。线应变是材料在某一方向上的长度变化与原长度的比

值，而切应变是材料在某一平面内角度变化的量度。

1.2胡克定律与材料属性

1.2.1胡克定律

胡克定律（Hooke’sLaw）是弹性力学中的基本定律，描述了在弹性范围

内，应力与应变成正比关系。对于一维情况，胡克定律可以表示为：

=

其中，是应力，是应变，是材料的弹性模量。

1.2.2材料属性

材料的弹性模量（Young’sModulus）和泊松比（Poisson’sRatio）是弹性

力学中重要的材料属性。弹性模量反映了材料抵抗弹性形变的能力，而泊松比

描述了材料在拉伸或压缩时横向形变与纵向形变的比值。

1.3平衡方程与边界条件

1.3.1平衡方程

平衡方程（EquilibriumEquations）描述了在弹性体内部，力的平衡条件。

在三维情况下，平衡方程可以表示为：

1

∂∂∂

+++=0

∂∂∂

∂∂∂

+++=0

∂∂∂

∂∂∂

+++=0

∂∂∂

其中，,,是正应力，,,是切应力，,,是单位体积的体

力分量。

1.3.2边界条件

边界条件（BoundaryConditions）是弹性力学问题中，描述弹性体边界上应

力或位移的条件。边界条件分为位移边界条件和应力边界条件。位移边界条件

直接规定了边界上的位移，而应力边界条件则规定了边界上的应力分布。

1.4弹性力学的基本假设

1.4.1连续性假设

连续性假设认为材料在宏观上是连续的，没有空隙或裂纹，应力和应变可

以连续变化。

1.4.2均匀性假设

均匀性假设认为材料的物理性质在所有位置都是相同的。

1.4.3各向同性假设

各向同性假设认为材料的物理性质在所有方向上都是相同的。

1.4.4小变形假设

小变形假设认为材料的变形相对于其原始尺寸是微小的，可以忽略变形对

材料几何形状的影响。

1.4.5线弹性假设

线弹性假设认为材料的应力与应变之间存在线性关系，遵循胡克定律。

1.4.6无初始应力假设

无初始应力假设认为在加载前，材料内部不存在任何应力。

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1.4.7示例：使用Python计算一维弹性杆的应力和应变

假设有一根长度为1米，截面积为0.01平方米的弹性