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3万有引力理论的成就

[学习目标]1.了解万有引力定律在天文学中的重要应用.2.了解“称量”地球的质量、计算太阳的质量的基本思路，会用万有引力定律计算天体的质量.3.理解运用万有引力定律处理天体运动问题的思路和方法．

一、“称量”地球的质量

1．思路：地球表面的物体，若不考虑地球自转的影响，物体的重力等于地球对物体的引力．

2．关系式：mg＝Geq\f(mm地,R2).

3．结果：m地＝eq\f(gR2,G)，只要知道g、R、G的值，就可计算出地球的质量．

4．推广：若知道某星球表面的重力加速度和星球半径，可计算出该星球的质量．

二、计算天体的质量

1．思路：质量为m的行星绕太阳做匀速圆周运动时，行星与太阳间的万有引力充当向心力．

2．关系式：eq\f(Gmm太,r2)＝meq\f(4π2,T2)r.

3．结论：m太＝eq\f(4π2r3,GT2)，只要知道引力常量G，行星绕太阳运动的周期T和轨道半径r就可以计算出太阳的质量．

4．推广：若已知引力常量G，卫星绕行星运动的周期和卫星与行星之间的距离，可计算出行星的质量．

三、发现未知天体

1．海王星的发现：英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶根据天王星的观测资料，利用万有引力定律计算出天王星外“新”行星的轨道.1846年9月23日，德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星——海王星．

2．其他天体的发现：海王星的轨道之外残存着太阳系形成初期遗留的物质，近100年来，人们发现了冥王星、阋神星等几个较大的天体．

四、预言哈雷彗星回归

英国天文学家哈雷计算了1531年、1607年和1682年出现的三颗彗星的轨道，他大胆预言这三颗彗星是同一颗星，周期约为76年，并预言了这颗彗星再次回归的时间.1759年3月这颗彗星如期通过了近日点，它最近一次回归是1986年，它的下次回归将在2061年左右．

1．判断下列说法的正误．

(1)地球表面的物体的重力一定等于地球对它的万有引力．(×)

(2)若知道某行星的自转周期和行星绕太阳做圆周运动的轨道半径，则可以求出太阳的质量．(×)

(3)已知地球绕太阳转动的周期和轨道半径，可以求出地球的质量．(×)

(4)海王星的发现表明了万有引力理论在太阳系内的正确性．(√)

(5)海王星的发现和彗星的“按时回归”确立了万有引力定律的地位．(√)

2．已知引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2，地球表面的重力加速度g＝9.8m/s2，地球半径R＝6.4×106m，则可知地球的质量约为________．(结果保留一位有效数字)

答案6×1024kg

一、天体质量和密度的计算

导学探究

1．卡文迪什在实验室测出了引力常量G的值，他称自己是“可以称量地球质量的人”．

(1)他“称量”的依据是什么？

(2)若已知地球表面重力加速度g，地球半径R，引力常量G，求地球的质量和密度．

答案(1)若忽略地球自转的影响，在地球表面上物体受到的重力等于地球对物体的万有引力．

(2)由mg＝Geq\f(Mm,R2)得，M＝eq\f(gR2,G)，ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3g,4πGR)

2．如果知道地球绕太阳的公转周期T和它与太阳的距离r，能求出太阳的质量吗？若要求太阳的密度，还需要哪些量？

答案由eq\f(Gm地m太,r2)＝m地eq\f(4π2,T2)r知m太＝eq\f(4π2r3,GT2)，可以求出太阳的质量；由密度公式ρ＝eq\f(m太,\f(4,3)πR太3)可知，ρ＝eq\f(3g,4πGR太)，所以若要求太阳的密度，还需要知道太阳的半径．

知识深化

1．计算中心天体质量的两种方法

(1)重力加速度法

①已知中心天体的半径R和中心天体表面的重力加速度g，根据物体的重力近似等于中心天体对物体的引力，有mg＝Geq\f(Mm,R2)，解得中心天体质量为M＝eq\f(gR2,G).

②说明：g为天体表面重力加速度．

未知星球表面重力加速度通常这样给出：让小球做自由落体、平抛、上抛等运动，从而计算出该星球表面重力加速度．

(2)卫星环绕法

①将天体的运动近似看成匀速圆周运动，其所需的向心力都来自于万有引力，由eq\f(GMm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，可得M＝eq\f(4π2r3,GT2).

②说明：这种方法只能求中心天体质量，不能求环绕星体质量，其中T为公转周期，r为轨道半径．

2．计算天体的密度

若天体的半径为R，则天体的密度ρ＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)

(1)将M＝eq\f(gR2,G)代入上式得ρ＝eq\f(3g,4πGR).

(2)将M＝eq\f(4π2r3,GT2)代入上式得ρ＝eq\f(3πr3,GT2R3).

当卫