弹性力学数值方法：有限体积法(FVM)：一维弹性问题的FVM解法.pdfVIP

弹性力学数值方法：有限体积法(FVM)：一维弹性问题的

FVM解法

1绪论

1.1有限体积法的简介

有限体积法（FiniteVolumeMethod,FVM）是一种广泛应用于流体力学、热

传导、弹性力学等领域的数值解法。它基于守恒定律，将计算域划分为一系列

控制体积，然后在每个控制体积上应用守恒定律，从而得到一组离散方程。

FVM的主要优点在于它能够很好地处理复杂的几何形状和边界条件，同时保持

守恒性和稳定性。

在弹性力学中，FVM被用来求解应力和应变的分布，特别是在一维弹性问

题中，它可以简化为沿单一方向的应力和应变分析。这种方法通过将一维弹性

体划分为多个小段，然后在每个小段上应用平衡方程，来近似求解弹性体的响

应。

1.2维弹性问题的背景知识

一维弹性问题通常涉及在单一方向上受力的弹性体。考虑一个长度为L的

弹性杆，两端分别固定或施加不同的力。弹性杆的应力-应变关系可以通过胡克

定律描述：

=

其中，是应力，是应变，E是弹性模量。在弹性力学中，我们通常需要

求解弹性体内部的应力分布，这可以通过求解弹性方程来实现：

+=0

其中，是外力密度。在有限体积法中，我们将弹性杆划分为N个控制体

积，每个控制体积的长度为。然后，我们可以在每个控制体积上应用上述弹

性方程，得到一组离散方程。

1.2.1示例：一维弹性杆的有限体积法求解

假设我们有一根长度为1米的弹性杆，弹性模量为200GPa，两端分别固

定。在杆的中间施加一个集中力F=1000N。我们使用有限体积法来求解杆内部

的应力分布。

首先，将杆划分为10个控制体积，每个控制体积的长度为0.1米。然后，

我们可以在每个控制体积上应用弹性方程。由于两端固定，边界条件为0=

1=0。

1

1.2.1.1Python代码示例

importnumpyasnp

#参数设置

L=1.0#弹性杆长度

E=200e9#弹性模量

F=1000#施加的集中力

N=10#控制体积数量

dx=L/N#控制体积长度

#初始化应力数组

sigma=np.zeros(N+1)

#应用集中力

sigma[N//2]=F/dx

#应用边界条件

sigma[0]=sigma[N]=0

#应用有限体积法

foriinrange(1,N):

sigma[i]=sigma[i-1]-(F/E/dx)

#输出应力分布

print(Stressdistribution:,sigma)

1.2.1.2代码解释

1.参数设置：定义了弹性杆的长度、弹性模量、施加的集中力和控

制体积的数量。

2.初始化应力数组：创建一个长度为N+1的数组，用于存储每个控

制体积的应力。

3.应用集中力：在中间的控制体积上施加集中力，这里简化处理，

直接将力除以控制体积长度得到应力。

4.应用边界条件：两端的应力设置为0，因为杆的两端被固定。

5.应用有限体积法：通过循环，应用弹性方程来更新每个控制体积

的应力。这里使用了简化版的方程，忽略了外力密度，因为在这个例子

中，除了中间的集中力外，没有其他外力。

6.输出应力分布：打印出每个控制体积的应力值。

这个例子提供了一个简化的一维弹性问题的有限体积法求解过程，实际应

用中，需要更精确地处理外力密度和边界条件，以及使用更复杂的方程来描述

应力和应变的关系。