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弹性力学数值方法：有限体积法(FVM)概论

1有限体积法(FVM)基础

1.11有限体积法的基本概念

有限体积法（FiniteVolumeMethod,FVM）是一种广泛应用于流体力学、热

传导、电磁学以及固体力学等领域的数值方法。其核心思想是基于守恒定律，

将连续的物理域离散化为一系列控制体积，然后在每个控制体积上应用守恒定

律，从而得到一组离散方程。这些方程可以用来近似求解偏微分方程，特别适

用于处理具有强烈非线性、对流主导或包含源项的问题。

1.1.1控制体积

在FVM中，控制体积（ControlVolume）是物理域中的一小部分，通常是

一个单元或网格。控制体积的边界称为控制面，通过在控制面上应用通量守恒，

可以得到控制体积内部物理量的变化率。

1.1.2通量守恒

通量守恒是FVM的基础。对于一个控制体积，流入的通量必须等于流出的

通量加上控制体积内部的源项或汇项。例如，对于连续性方程，质量守恒可以

表示为：

∂

+∇⋅=0

∂

在控制体积上，这可以离散化为：

​​

⋅=0

其中，是密度，是速度矢量，是控制体积，是控制体积的表面。

1.22有限体积法与有限元法的比较

有限体积法与有限元法（FiniteElementMethod,FEM）都是数值求解偏微

分方程的重要方法，但它们在理论基础和应用领域上存在显著差异。

1.2.1理论基础

有限体积法：基于守恒定律，通过在控制体积上应用通量守恒来

构建离散方程。

有限元法：基于变分原理，通过将偏微分方程转化为弱形式，然

后在有限元空间中求解。

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1.2.2应用领域

有限体积法：特别适用于流体力学、热传导等对流主导的问题，

以及需要严格守恒的物理过程。

有限元法：广泛应用于结构力学、电磁学、热传导等，尤其在处

理复杂的几何形状和边界条件时表现出色。

1.2.3离散化过程

有限体积法：在每个控制体积上应用守恒定律，得到的离散方程

直接反映了物理守恒性。

有限元法：通过将连续域离散化为有限个单元，然后在每个单元

上应用加权残值法，得到的离散方程通常需要进一步的数值积分。

1.2.4代码示例

下面是一个使用Python实现的简单有限体积法示例，用于求解一维对流方

程：

importnumpyasnp

#参数设置

nx=100#网格点数

nt=100#时间步数

dx=2/(nx-1)#空间步长

dt=0.02#时间步长

c=1#对流速度

#初始化网格和速度场

x=np.linspace(0,2,nx)

u=np.ones(nx)

u[int(.5/dx):int(1/dx+1)]=2#设置初始条件

#更新速度场

forninrange(nt):

un=u.copy()#保存前一步的速度场

foriinrange(1,nx):

u[i]=un[i]-c*dt/dx*(un[i]-un[i-1])

#输出结果

print(u)

1.2.5解释

此代码示例使用有限体积法求解一维对流方程。首先，定义了网格点数、

2

时间步数、空间步长和时间步长。然后，初始化网格和速度场，并设置初始条

件。在主循环中，通过保存前一步的速度场，计算每个网格点的速度更新，这

反映了对流方程的物理过程。最后，输出计算后