弹性力学数值方法：有限体积法(FVM)在边界条件处理中的应用.pdfVIP

弹性力学数值方法：有限体积法(FVM)在边界条件处理中的

应用

1弹性力学数值方法：有限体积法(FVM)：FVM在弹性力学

边界条件处理

1.1简介

1.1.1有限体积法(FVM)概述

有限体积法(FVM)是一种广泛应用于流体力学、热传导、电磁学以及固体力

学等领域的数值方法。它基于守恒定律，将计算域划分为一系列控制体积，然

后在每个控制体积上应用守恒方程，从而得到一组离散方程。FVM的主要优势

在于它能够准确地处理守恒性质，特别是在处理复杂几何和边界条件时表现出

色。

1.1.2弹性力学中的基本方程

弹性力学主要研究固体在外力作用下的变形和应力分布。其基本方程包括

平衡方程、本构方程和几何方程。平衡方程描述了力的平衡，本构方程描述了

材料的应力应变关系，而几何方程则描述了应变与位移的关系。在弹性力学中，

这些方程通常以偏微分方程的形式出现，例如，平衡方程可以表示为：

⋅

∇+=

其中，是应力张量，是体力向量。

1.1.3FVM在弹性力学中的适用性

将FVM应用于弹性力学，可以有效地处理复杂的边界条件和几何形状。

FVM通过在每个控制体积上应用平衡方程，可以得到一组离散方程，这些方程

可以用来求解应力和位移。FVM的一个关键优势是它能够直接在控制体积上处

理守恒性质，这在处理弹性力学问题时尤为重要，因为弹性力学问题通常涉及

力和能量的守恒。

1.2FVM在弹性力学中的应用

1.2.1控制体积的划分

在应用FVM时，首先需要将计算域划分为一系列控制体积。这些控制体积

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可以是任意形状，但通常选择为四面体或六面体，以便于处理复杂的几何形状。

例如，考虑一个简单的二维矩形区域，我们可以将其划分为一系列矩形控制体

积。

importnumpyasnp

importmatplotlib.pyplotasplt

#定义计算域的尺寸

length=1.0

height=1.0

#定义网格的分辨率

nx=10

ny=10

#创建网格

x=np.linspace(0,length,nx+1)

y=np.linspace(0,height,ny+1)

X,Y=np.meshgrid(x,y)

#绘制网格

plt.figure()

plt.plot(X,Y,k)

plt.plot(X.T,Y.T,k)

plt.xlabel(x)

plt.ylabel(y)

plt.title(ControlVolumeMesh)

plt.show()

1.2.2平衡方程的离散化

接下来，需要在每个控制体积上离散化平衡方程。这通常涉及到计算应力

张量的梯度和体力向量的积分。在二维情况下，平衡方程可以表示为：

∂∂

++=0

∂∂

∂∂

++=0

∂∂

在FVM中，这些方程通过在控制体积上应用积分形式来离散化。

1.2.3边界条件的处理

边界条件在弹性力学问题中至关重要，它们可以是位移边界条件或应力边

界条件。在FVM中，边界条件通常通过在边界控制体积上应用特殊的离散方程

来处理。例如，如果在x方向上施加了一个固定的位移边界条件，那么在边界

控制体积上，x方向的位移将被设定为给定的值，而相应的应力项将被忽略。

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