弹性力学数值方法：有限体积法(FVM)在非线性弹性问题中的应用.pdfVIP

弹性力学数值方法：有限体积法(FVM)在非线性弹性问题中

的应用

1绪论

1.1有限体积法(FVM)简介

有限体积法(FVM)是一种广泛应用于流体力学、热传导、电磁学以及固体力

学等领域的数值方法。它基于守恒定律，将计算域划分为一系列控制体积，然

后在每个控制体积上应用守恒定律，从而得到一组离散方程。FVM的主要优点

在于它能够很好地处理复杂的几何形状和边界条件，同时在处理对流主导问题

时表现出较高的稳定性。

1.2非线性弹性问题概述

非线性弹性问题是指材料的应力与应变关系不遵循线性关系的弹性问题。

在实际工程中，许多材料在大变形或高应力状态下表现出非线性特性，如橡胶、

生物组织、复合材料等。非线性弹性问题的求解通常涉及到非线性偏微分方程，

这在数学上和数值上都比线性问题复杂。

1.3FVM在非线性弹性问题中的重要性

将FVM应用于非线性弹性问题，可以利用其在处理复杂几何和边界条件方

面的优势，同时结合非线性求解技术，如Newton-Raphson迭代法，来解决非线

性弹性方程。这种方法在处理具有复杂结构和非线性材料特性的工程问题时，

能够提供准确且稳定的数值解。

1.3.1示例：使用FVM求解非线性弹性问题

假设我们有一个非线性弹性体，其应力应变关系由一个简单的非线性模型

给出：

=1+

其中，应力，是应变，是弹性模量，是非线性系数。

考虑一个简单的1D问题，即一个非线性弹性杆在两端受到拉力的作用。

我们使用FVM来离散化这个问题，并使用Newton-Raphson迭代法来求解非线

性方程。

importnumpyasnp

fromscipy.sparseimportdiags

fromscipy.sparse.linalgimportspsolve

1

#参数设置

E=1.0#弹性模量

alpha=0.1#非线性系数

L=1.0#杆的长度

N=10#控制体积的数量

F=1.0#应用的力

#网格划分

dx=L/N

x=np.linspace(0,L,N+1)

#初始应变和应力

epsilon=np.zeros(N)

sigma=np.zeros(N)

#初始位移

u=np.zeros(N+1)

#迭代求解

tol=1e-6

max_iter=100

residual=1.0

iter_count=0

whileresidualtolanditer_countmax_iter:

#计算应力

foriinrange(N):

sigma[i]=E*epsilon[i]*(1+alpha*epsilon[i])

#构建刚度矩阵

k=diags([sigma,-2*sigma,sigma],[-1,0,1],shape=(N,N))

#应力-应变关系的导数，用于构建Jacobian矩阵

d_sigma_d_epsilon=E*(1+2*alpha*epsilon)

#构建Jacobian矩阵

jacobian=diags([-d_sigma_d_epsilon,2*d_sigma_d_epsilon,-d_sigma_d_epsilon],[-1,0,1],s

hape=(N,N))

#应用边界条件

k=k.tolil()

k[0,0]=1.0

k[-1,-1]=1.0

k=k.tocsr()

2

jacobian=jacobian.tolil()

jacobian[0,0]=1.0

jacobian[-1,-1]=1.0

jacobian=jacobian.tocsr()

#构建右侧向量

b=np.zeros(N)

b[-1]=F

#求解位移

du=spsolve(jacobian,b)