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弹性力学数值方法：有限元法(FEM)：一维杆件有限元分析

1弹性力学数值方法：有限元法(FEM)：一维杆件有限元分

析

1.1绪论

1.1.1有限元法的历史和发展

有限元法(FiniteElementMethod,FEM)是一种用于求解复杂工程问题的数值

分析方法，其历史可以追溯到20世纪40年代。最初，FEM是在航空工业中为

解决飞机结构的应力分析问题而发展起来的。随着计算机技术的飞速发展，

FEM逐渐被应用于更广泛的领域，包括土木工程、机械工程、生物医学工程等，

成为解决弹性力学、流体力学、热传导等复杂问题的重要工具。

1.1.2维杆件分析的工程背景

在工程实践中，一维杆件分析是有限元法应用的最基础案例。杆件可以是

桥梁的支撑柱、建筑的梁、机械的轴等，这些结构在承受外力作用时，会产生

拉伸或压缩变形。通过一维杆件的有限元分析，工程师可以计算出杆件内部的

应力分布，评估其承载能力和安全性，从而优化设计，确保工程结构的可靠性

和经济性。

1.2维杆件有限元分析原理

一维杆件的有限元分析主要基于以下步骤：

1.离散化：将连续的杆件结构划分为多个小段，即单元，每个单元

视为独立的分析对象。

2.建立单元模型：对于每个单元，建立其力学模型，通常使用胡克

定律描述单元的弹性行为。

3.组装整体矩阵：将所有单元的局部矩阵组装成整体刚度矩阵，形

成整体结构的力学模型。

4.施加边界条件：根据工程问题，施加适当的边界条件，如固定端、

自由端或施加外力。

5.求解：利用线性代数方法求解整体刚度矩阵方程，得到杆件的位

移、应力和应变分布。

1.2.1示例：一维杆件的有限元分析

假设我们有一根长度为1米的均匀杆件，两端分别固定和自由，受到

1

1000N的轴向力作用。杆件的横截面积为0.01平方米，弹性模量为200GPa。我

们将杆件离散化为10个单元，每个单元长度为0.1米。

步骤：离散化

1.2.1.11

将杆件划分为10个单元，每个单元长度为0.1米。

步骤：建立单元模型

1.2.1.22

对于每个单元，使用胡克定律建立力学模型。假设单元i的位移为和，

+1

则单元i的内力可以表示为：

−

1

=

其中，是弹性模量，是横截面积，是单元长度。

步骤：组装整体矩阵

1.2.1.33

将所有单元的局部矩阵组装成整体刚度矩阵。整体刚度矩阵的大小取决

于杆件的离散化程度，对于10个单元的杆件，是一个11x11的矩阵。

步骤：施加边界条件

1.2.1.44

一端固定，意味着该端的位移为0；另一端自由，意味着该端的内力为0。

在施加外力的单元，其内力等于外力。

1.2.1.5步骤5：求解

=

利用线性代数方法求解整体刚度矩阵方程