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行列式的计算技巧与方法总结

(修改版)

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行列式的若干计算技巧与方法

内容摘要TOC\o1-2\\z\u

1.行列式的性质

2.行列式计算的几种常

见技巧和方法

2.1定义法

2.2利用行列式的性质

2.3降阶法

2.4升阶法（加边法）

2.5数学归纳法

2.6递推法

3.行列式计算的几种

特殊技巧和方法

3.1拆行（列）法

3.2构造法

3.3特征值法

4.几类特殊行列式的

计算技巧和方法

4.1三角形行列式

HYPERLINK\l_Toc3245144524.2“爪”字型行列式

HYPERLINK\l_Toc3245144534.3“么”字型行列式

HYPERLINK\l_Toc3245144534.4“两线”型行列式

HYPERLINK\l_Toc3245144534.5“三对角”型行列

式

4.6范德蒙德行列式

5.行列式的计算方法

的综合运用

5.1降阶法和递推法

5.2逐行相加减和套用

范德蒙德行列式

5.3构造法和套用范德

蒙德行列式

1.2行列式的性质

性质1行列互换，行列式不变．即

.

性质2一个数乘行列式的一行（或列），等于用这个数乘

此行列式．即

k.

性质3如果行列式的某一行（或列）是两组数的和，那么

该行列式就等于两个行列式的和，且这两个行列式除去该行（或

列）以外的各行（或列）全与原来行列式的对应的行（或列）一

样．即

性质4如果行列式中有两行（或列）对应元素相同或成比

例，那么行列式为零．即

=0.

性质5把一行的倍数加到另一行，行列式不变．即

.

性质6对换行列式中两行的位置，行列式反号.即

=-.

性质7行列式一行（或列）元素全为零，则行列式为

零．即

.

2、行列式的几种常见计算技巧和方法

2.1定义法

适用于任何类型行列式的计算，但当阶数较多、数字较大

时，计算量大，有一定的局限性．

例1计算行列式.

解析：这是一个四级行列式，在展开式中应该有项，但由于

出现很多的零，所以不等于零的项数就大大减少．具的说，展

开式中的项的一般形式是．显然，如果，那么，从而这个项就等

于零．因此只须考虑的项，同理只须考虑的这些项，这就是说，

行列式中不为零的项只有，而，所以此项取正号．故

=.

2.2利用行列式的性质

即把已知行列式通过行列式的性质化为上三角形或下三角形.

该方法适用于低阶行列式．

2.2.1化三角形法

上、下三角形行列式的形式其值别如下：

，.

例2计算行列式.

解析：观察行列式的特点，主对角线下方的元素与第一行元

素对应相同，故用第一行的倍加到下面各行便可使主对角线下方

的元素全部变为零．