专题2.10 有理数中的规律探究【八大题型】（举一反三）（人教版2024）（解析版）.docx

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专题2.10有理数中的规律探究【八大题型】

【人教版2024】

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【题型1数字类规律探究】 1

【题型2四则运算中的规律探究】 3

【题型3乘方中的规律探究】 7

【题型4周期中的规律探究】 10

【题型5递进中的规律探究】 12

【题型6表格中的规律探究】 15

【题型7图形中的规律探究】 18

【题型8新定义中的规律探究】 22

【题型1数字类规律探究】

【例1】（23-24七年级·黑龙江绥化·阶段练习）观察一组按规律排列的数：1，2，4，8，16，…，则第2024个数是（????）．

A．22024 B．22024?1 C．

【答案】C

【分析】根据1，2，4，8，16，…，得出第n个数为2n?1，把n=2024代入即可作答

【详解】解：观察所给的数据，

得第n个数为2n?1

当n=2024时，2n?1

故选：C．

【点睛】本题考查了数字规律，解题的关键找出第n个数为2n?1，难度较小

【变式1-1】（23-24七年级·陕西商洛·期末）观察下面一列数：

第1组

第2组

第3组

第4组

第5组

……

1,?1

2,4

3,?9

4,16

5,?25

按照此规律第9组的两数之和为．

【答案】?72

【分析】本题考查的是数字类的规律探究，掌握探究的方法，并灵活运用规律解题是关键．由条件归纳可得：每一组的第一个数构成连续的正整数，第二个数奇次项为负数，偶次项为正数，其绝对值是第一个的数的平方，从而可得答案．

【详解】解：由条件归纳可得：

每一组的第一个数构成连续的正整数，

第二个数奇次项为负数，偶次项为正数，其绝对值是第一个的数的平方，

∴第9组数为9,?81，

∴9+?81

故答案为：?72．

【变式1-2】（23-24七年级·山东滨州·阶段练习）一组按规律排列的数?14，39，?516，7

【答案】?

【分析】直接根据题意找出规律作答即可．

【详解】解：?1

39

?5

……，

第n个数是?1n

第9个数是?19

故答案为：?17

【点睛】本题考查了数字类规律探索，解题的关键是得到第n个数是?1n

【变式1-3】（23-24七年级·广西崇左·期末）如图，在各正方形中的四位数之间有一定的规律，按此规律得出a，b的值分别为（????）.

A．16,257 B．16,91 C．10,101 D．10,161

【答案】D

【分析】根据数字规律分别得出c=16，a=10，再由运算方法求解即可．

【详解】解：分析正方形中的四个数：

四个大正方形中第一行从左往右第一个数分别为1，3，5，7；

第二个数分别为：2，4=22，8=2

∴c=16；

第二行第一个数分别为：4，6，8，10，

∴a=10，

第二行第二个数分别为：9=2×4+1，25=4×6+1，65=8×8+1，b=ac+1=160+1=161，

故选D．

【点睛】题目主要考查数字规律探索及有理数的乘方运算，找出相应的规律是解题关键．

【题型2四则运算中的规律探究】

【例2】（2024·浙江嘉兴·模拟预测）已知：11×2=1?12，12×3

(1)用含有n（n为正整数）的式子表示你发现的规律；

(2)按照上面算式的规律计算：21×2

【答案】(1)1

(2)2017

【分析】本题考查了数字的变化规律类问题，探寻数列规律认真计算观察联想是解决这类问题的关键．

（1）根据已知的算式拆项计算，观察规律即可得到答案；

（2）先根据得出的规律拆项展开，再合并，最后求出即可

【详解】（1）∵11×2

12×3

13×4

14×5

……，

∴第n个等式为：1n

故答案为：1n

（2）2

＝2×（11×2

＝2×（1?1

＝2×（1﹣12018

＝2×2017

【变式2-1】（2024·安徽合肥·模拟预测）观察以下等式：第1个等式：21?32=12；第2个等式32?

(1)写出第6个等式；

(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示）.

【答案】(1)7

(2)n+1

【分析】（1）根据上述等式可知，减数的分母是被减数分母分子的乘积，分子是被减数分子分母的和，即可得到第六个等式；

（2）根据上述等式的规律，求解等式的左边等于等式的右边，即可．

【详解】（1）∵第1个等式：21

第2个等式32

第3个等式43

第4个等式54

……

∴第6个等式为：76

故答案为：76

（2）由（1）得，第n个等式：n+1n

【点睛】本题考查有理数和整式的知识，解题的关键是观察等式，得到规律，进行解答．

【变