立体几何非标准建系及新定义问题+专题训练-2024届高三数学二轮复习.docx

立体几何非标准建系及新定义问题

非标准建系

非标准坐标系一般指的是没有直接给出三条互相垂直的棱，没法直接建立空间直角坐标系，需要根据题设条件进行挖掘，若能挖出互相垂直的三条直线最好，若不能，则退而求其次，转而找到两条也可以，另外一条通过线面垂直获取其他条件。

例1.如图，在三棱台ABC?A1B1C1

(1)证明：B1

(2)若棱台的体积为79221，AC=728

【详解】（1）在平面AC1C1A中过点C

在平面ABC中过点C作AC的垂线CE，

∵面AA1C1C⊥面ABC，CD⊥AC

且面AA1C1C∩面ABC=AC

∵CE?面ABC，所以CD⊥CE，

故AC，CE，CD三条两两垂直，

建立以点C为坐标原点，直线CA，CE，CD分别为x，y，z轴的空间直角坐标系，

如图所示，则由题意得

C0,0,0

∴CB?BA1

∵BC//B1C

（2）设λ=A1C

S△ABC

根据△ABC～△A1B

由棱台体积公式得

792

所以49λ2

在（1）问建系基础上，

CB

设面A1BC

由n1?CB

取x1=?1，则y1

由题意得AC=722，根据λ=

C1

设面BB1

由n2?CB

取x2=?4，则y2=4，

设二面角A1?BC?B1的大小为

所以cosθ=

所以二面角A1?BC?B

变式训练1.如图，在三棱柱ABC?A1B1C1中，AB=AC=2,D

??

(1)证明：AD⊥平面BB

(2)己知四边形BB1C1C

变式训练2.三棱柱ABC?A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=2，侧面A1

??

(1)求侧棱AA

(2)侧棱CC1上是否存在点E，使得直线AE与平面A1BC所成角的正弦值为

新定义问题

新定义问题：利用题干休息分析挖掘条件转化为所学知识或用其所给定义求解。

例2．类比于二维平面中的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理；如图1，由射线，，构成的三面角，，，，二面角的大小为，则．

（1）当、时，证明以上三面角余弦定理；

（2）如图2，平行六面体中，平面平面，，，

①求的余弦值；

②在直线上是否存在点，使平面？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由．

【详解】（1）证明：如图，过射线上一点作交于点，

作交于点，连接，

则是二面角的平面角．

在中和中分别用余弦定理，得

，

，

两式相减得，

∴，

两边同除以，得．

（2）①由平面平面，知，

∴由（1）得，

∵，，

∴．

②在直线上存在点，使平面．

连结，延长至，使，连结，

在棱柱中，，，

∴，∴四边形为平行四边形，

∴．

在四边形中，，

∴四边形为平行四边形，

∴，

∴，

又平面，平面，

∴平面．

∴当点在的延长线上，且使时，平面．

变式训练3．（1）在空间直角坐标系中，已知平面的法向量，且平面经过点，设点是平面内任意一点.求证：.

（2）我们称（1）中结论为平面的点法式方程，若平面过点，求平面的点法式方程.

变式训练4．“曼哈顿几何”也叫“出租车几何”，是在19世纪由赫尔曼·闵可夫斯基提出来的．如图是抽象的城市路网，其中线段是欧式空间中定义的两点最短距离，但在城市路网中，我们只能走有路的地方，不能“穿墙”而过，所以在“曼哈顿几何”中，这两点最短距离用表示，又称“曼哈顿距离”，即，因此“曼哈顿两点间距离公式”：若，，则

(1)①点，，求的值．

②求圆心在原点，半径为1的“曼哈顿单位圆”方程．

(2)已知点，直线，求B点到直线的“曼哈顿距离”最小值；

(3)设三维空间4个点为，，且，，．设其中所有两点“曼哈顿距离”的平均值即，求最大值，并列举最值成立时的一组坐标．

参考答案

变式训练1【详解】（1）由AB=AC=2,D为BC的中点，所以AD⊥BC；

又平面BB1C1C⊥平面ABC，且平面BB1

所以AD⊥平面BB

（2）因为四边形BB1C

连接B1D，则

又平面BB1C1C⊥平面ABC，且平面BB1

所以B1D⊥平面

以D为坐标原点，DC,DA,DB1所在直线分别为x轴，y轴，

??

所以△ABC为边长是2的等边三角形，可得AD=3

又四边形BB1C

所以△B1BC,△

易知D0,0,0

所以AC

设平面DAC1的法向量为

则n1?A

解得y1=0，令x1=3

设平面CAC1的法向量为

则n2?A

令x2=3，则y2=1

所以cosn

由图可知，所求二面角为锐角，

所以二面角D?AC1?C

变式训练1【详解】（1）在平面AA1B1B内过A

因为侧面A1ACC

又CA⊥AB，AB∩AA1=A，AB,A

所以CA⊥平面AA

又CA?平面ABC，所以平面AA1B

易得AD⊥AB，AD?面AA1B1B

所以AD⊥平面ABC，

因为VC1?ABC

因为∠A1AB=2π

（2）存在点E满足题意，C1

如图，以A为坐标原点，以AB,AC,AD所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，

??