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辽宁省沈阳市东北育才学校2025届高三上学期第一次模拟考试暨假期质量测试数学试卷
一、选择题:本题共11小题,每小题5分,共55分。
1.设集合M={y|y=2x,x0},N={x|y=1?xx},则“
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2.给出下列四个结论:
①“a2”是“a5”的充分不必要条件;
②若命题p:?x≥0,2x=3
③若x∈R,则x2≠4是
④若命题q:对于任意x∈R,x2
其中正确结论?个数为(????)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.下列函数中,既是奇函数又具有零点的是(????)
A.f(x)=|x|x B.f(x)=lnx2
4.已知随机变量X的分布列如下表所示,则E(2X+1)=(????)
X
1
2
3
P
1
a
1
A.116 B.113 C.143
5.已知数列{an}为等差数列,{bn}
A.b1b7≥a1a7
6.已知函数f(x)=ax(a0且a≠1)满足f(1)1,且函数y=logax2?ax?1
A.(1,+∞) B.(1,4] C.1,32
7.已知函数fx=x,x≤ax2,(xa),若存在实数b,使函数g
A.a0 B.a1且a≠0 C.a1 D.a0且a≠1
8.已知命题p:?x∈R,ax?ex=0为假命题,则a的取值范围为
A.?∞,0∪e,+∞ B.?∞,0∪e,+∞
C.
9.下列说法中,正确的是(????)
A.若随机变量X~N2,σ2,且P(X6)=0.4,则P(?2X2)=0.1
B.若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强,则线性相关系数r的值越接近于1
C.若随机事件A,B满足:P(A)=12,P(B)=23,P(A∪B)=56,则事件A与B相互独立
10.已知函数f(x)定义域为R,对?x,y∈R,恒有f(x+y)+f(x?y)=2f(x)f(y),则下列说法错误的有(????)
A.f(0)=1 B.f(2x+1)=f(?2x?1)
C.f(x)+f(0)≥0 D.若f(1)=12,则f(x)
11.对于函数fx=lnx
A.fx在x=?e处取得极大值12e
B.fx有两个不同的零点
C.f22
二、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
12.若数列an满足a1=1,an+1?an=n+1,数列{1
13.某校团委对学生性别和喜欢短视频是否有关联进行了一次调查,其中被调查的男生、女生人数均为6mm∈N?,男生中喜欢短视频的人数占男生人数的12,女生中喜欢短视频的人数占女生人数的23.若有99%的把握认为喜欢短视频和性别相关联,则m的最小值为
a
0.05
0.01
x
3.841
6.635
14.已知函数f(x)=lnx?1lnx+1(xe),若f(m)+f(n)=1,则f(mn)
三、解答题:本题共5小题,每小题12分,共60分。
15.设f(x)=log12(
(1)求a的值
(2)若对于[3,4]上的每一个x的值,不等式f(x)(12)x
16.已知数列an的前n项和为Sn,且S
(1)求证;数列an
(2)求证:k=1n2
17.已知f(x)=x
(1)求f(x)的最小值;
(2)若f(x)≥2tx?1x2在x∈0,1
18.在高等数学中,我们将y=f(x)在x=x0处及其附近可以用一个多项式函数近似表示,具体形式为:f(x)=fx0+f′x0x?x0+f′x0
(1)分别求ex,sin
(2)若上述泰勒展开式中的x可以推广至复数域,试证明:eiπ+1=0.(其中i为虚数单位
(3)当x∈0,32时,求证:
19.现有标号依次为1,2,…,n的n个盒子,标号为1号的盒子里有2个红球和2个白球,其余盒子里都是1个红球和1个白球.现从1号盒子里取出2个球放入2号盒子,再从2号盒子里取出2个球放入3号盒子,…,依次进行到从n?1号盒子里取出2个球放入n号盒子为止.
(1)当n=2时,求2号盒子里有2个红球的概率;
(2)当n=3时,求3号盒子里的红球的个数ξ的分布列;
(3)记n号盒子中红球的个数为Xn,求Xn的期望E(
参考答案
1.A?
2.B?
3.B?
4.C?
5.A?
6.C?
7.B?
8.D?
9.ACD?
10.A?
11.ACD?
121
13.20?
14.57
15.解:(1)∵f(x)是奇函数,
∴f(?x)=?f(x),
∴log12(1+ax?x?1)=?log12(1?axx?1)??1+ax?x?1=x?11?ax0
?1?a2x2=1?x2?a=±1.
经检验a=1不合题意(舍),
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