高考数学一轮总复习教学课件第八章　平面解析几何第11节　圆锥曲线中的证明与存在性问题.pptx

第11节圆锥曲线中的证明与存在性问题

提升·关键能力类分考点,落实四翼

考点一证明问题[例1](2024·辽宁沈阳模拟)已知椭圆(ab0)的离心率,由椭圆E的四个顶点围成的四边形的面积为.(1)求椭圆E的标准方程;

(2)设A为椭圆E的右顶点,过点M(-2a,0)且斜率不为0的直线l与椭圆E相交于点B,C(点B在点M,C之间),若N为线段BC上的点,且满足,证明:∠ANC=2∠AMC.

因此点N在直线x=-2上,而直线x=-2垂直平分线段MA,所以|NM|=|NA|,即∠AMC=∠MAN,因为∠ANC为△MNA的一个外角,所以∠ANC=∠AMC+∠MAN=2∠AMC.

圆锥曲线证明问题的类型及求解策略(1)圆锥曲线中的证明问题,主要有两类:一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系,如:某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等;二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等).特别注意,这两种类型不是孤立的,是相互转化的.

(2)解决证明问题时,主要根据直线与圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等,通过相关性质的应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明.

[针对训练](2024·福建泉州模拟)已知直线y=3与曲线C:x2+2py=0的两个公共点之间的距离为.(1)求C的方程;(1)解:将y=3代入x2+2py=0,得x2=-6p.当p≥0时,不合题意;解得p=-4,故C的方程为x2=8y.

(2)设P为C的准线上一点,过P作C的两条切线,切点为A,B,直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,且直线PA,PB与y轴分别交于M,N两点,直线AB的斜率为k0.证明:k1·k2为定值,且k1,k0,k2成等差数列.(2)证明:由(1)可知C的准线方程为y=-2,不妨设P(m,-2),A(x1,y1),B(x2,y2),由题意,过点P且与C相切的直线l的斜率一定存在,设为k,则l:y=k(x-m)-2,且k≠0,

考点二存在性问题[例2](2024·江苏南通模拟)已知双曲线(a0,b0)的离心率为2,且过点.(1)求双曲线C的标准方程;

(2)设Q为双曲线C右支第一象限上的一个动点,F为双曲线C的右焦点,在x轴的负半轴上是否存在定点M使得∠QFM=2∠QMF?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.解:(2)假设存在点M(t,0)(t0)满足题设条件.由(1)知双曲线C的右焦点为F(2,0).设Q(x0,y0)(x01)为双曲线C右支第一象限上一点.当x0=2时,因为∠QFM=2∠QMF=90°,所以∠QMF=45°,于是|MF|=|QF|=3,所以t=-1,即M(-1,0).

存在性问题的解题策略存在性的问题,先假设存在,推证满足条件的结论,若结论正确则存在,若结论不正确则不存在.书写步骤时,可以先直接写出探求的结论,然后说明理由(证明).(1)当条件和结论不唯一时,要分类讨论.(2)当给出结论而要推导出存在的条件时,先假设成立,再推出条件.(3)当要讨论的量能够确定时,可先确定,再证明结论符合题意.

[针对训练](2024·山东青岛模拟)已知动圆P经过点A,并且与圆B:相切,记圆心P的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;

(2)若动圆Q的圆心在曲线C上,定直线l:x=t与圆Q相切,切点记为M,探究:是否存在常数m,使得|QB|=m|QM|?若存在,求m及直线l的方程;若不存在,请说明理由.解:(2)如图所示,存在常数m使得|QB|=m|QM|,理由如下:设Q(x0,y0),

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